Выпуклость и вогнутость кривой в точке и на промежутке

Определение 5: Кривая в точке М выпукла книзу, если все точки некоторой дуги кривой слева и справа от точки М лежат выше касательной, проведенной к кривой в точке М.

Кривая в точке М вогнута книзу, если все точки некоторой дуги кривой слева и справа от точки М лежат ниже касательной, проведенной к кривой в точке М.

 

 

 

ТП: (достаточные признаки выпуклости и вогнутости кривой в точке):

Пусть кривая является графиком функции у = f (х), а точка М этой кривой имеет абсциссу х₀. Если f '' (х₀)>0, то кривая в точке М выпукла книзу, а если f '' (х₀)<0, то вогнута книзу.

 

Точка перегиба.

Когда кривая, являющаяся графиком функции у = f (х), выпукла книзу в одних промежутках и вогнута книзу в других, то точка М, отделяющая участок выпуклости кривой книзу от участка вогнутости книзу, называется точкой перегиба.

 

 

М; М₁ – точки перегиба

 

 

Правило нахождения значений х, при которых график функции у = f (х) имеет точки перегиба:

1. Вычислить вторую производную f '' (х) от данной функции у = f (х), график которой исследуем.

2. Найти те значения х внутри промежутка (а; в), при которых f '' (х) обращается в нуль; пусть это х₁, х₂,…х_к

3. Определить знак второй производной f '' (х) в каждом из промежутков (а; х₁), (х₁; х₂) …(х_К; в), для чего достаточно установить знак f '' (х) при каком-нибудь одном значении х в каждом их этих промежутков. Если f '' (х) изменяет знак при переходе через каждую из точек х₁, х₂…х_К, то следовательно график функции имеет точку перегиба при рассматриваемом значении х. Если знак f '' (х) не изменяется, то точки перегиба нет.