Пример построения графика функции

y = (x⁴ – 6x² + 5)

Решение:

1. Данная функция является рациональной, она определена, непрерывна и дифференцируема на множестве всех действительных чисел.

2. Определим четность:

y(-x) = ((-x)⁴ - 6·(-x)² + 5) = (x⁴ - 6x²+ 5),

y(-x) = y(x), следовательно данная функция является четной и ее график симметричен относительно оси ординат.

3. Определим точки пересечения графика функции с осями координат:

а). Для того чтобы найти точки пересечения графика с осью абсцисс, решим

уравнение у = 0:

(x⁴ – 6x² + 5) = 0,

x⁴ – ·6·x² + = 0,

x⁴- 3x² + = 0, решим это биквадратное уравнение, сделав замену z = x²:

z²– 3z + = 0,

Д = (-3)² – 4 · · = 9 -5 = 4,

z₁ = = 5, z₂ = = 1,

Делаем обратную замену:

x² = 5,

x² = ,

x² = - ,

x² = 1,

x₃ = 1,

x₄ = 4. Точки пересечения графика с осью абсцисс: (;0), (- ;0), (1;0), (-1;0)

б). Пересечение графика с осью ординат определяем, вычислив значение у(0):

у(0) = (0 – 6 · 0 + 5) = ,

Точка пересечения графика с осью ординат:

(0; ).

4. Для нахождения точек возможного экстремума, вычислим первую производную:

y' = [ (x⁴ – 6x² + 5)]' = ( - 3x² + )' = - 3 · 2 · x^2-1 + 0 = 2x³ – 6x,

затем решал уравнение у' = 0, получим абсциссы точек возможного экстремума:

2x³ – 6x = 0,

2x(x² - 3) = 0,

2x = 0 или x² – 3 = 0,

x₁ = 0 x² = 3,

x² = ,

x² = - .

На вспомогательном чертеже исследуем знаки производной:

y'(-3) = 2·(-3)³ - 6·(-3) = -54 + 18 < 0

y'(-1) = 2·(-1)³ - 6·(-1) = -2 + 6 > 0

y'(1) = 2·1³ - 6·1 = 2 - 4 < 0

y'(3) = 2·3³ - 6·3 = 54 – 16 > 0

Т.к. при переходе через точку с абсциссой (- ) производная меняет знак с «-» на «+», то это абсцисса точки минимума.

При переходе через точкус абсциссой (0) производная меняет свой знак с «+» на «-», следовательно, это абсцисса точки максимума.

При переходе через точкус абсциссой производная меняет свой знак с «-» на «+», следовательно это абсцисса точки минимума.

Определим координаты точек экстремума, для этого вычислим значение функции в полученных значениях х:

y (- ) = ((- )⁴ – 6 · (- )² + 5) = (9 – 6 · 3 + 5) = -2,

y (0) = ,

y () = (()⁴ – 6 · ()² + 5) = -2/

Вывод: Функция убывает на промежутке (- ∞; - ) и на (0; )

Функция возрастает на промежутке (- ; 0) и на (;∞)

Минимумы функции:

при х = - , у (- ) = -2 и

при х = , у () = -2.

Максимум функции:

при х = 0, у (0)= .

5. Найдем значения х, при которых имеет точки перегиба, для этого найдем вторую производную: у'' = (2х³ – 6х)' = 6х² – 6 и решим уравнение:

6х² – 6 = 0,

6(х² - 1) = 0,

х² – 1 = 0,

х₁ = 1,

х₂ = -1.

Пользуясь вспомогательным чертежом определим точки перегиба:

у''(-2) = 6((-2)² - 1) = 6 · (4 - 1) > 0

у''(0) =6 · (0 - 1) < 0

у''(2) = 6(2² - 1) = 6 · (4 - 1) > 0

Т.к. при переходе через значение х = -1, х = 1, вторая производная меняет свой знак, то график функции имеет точку перегиба при рассматриваемых значениях х, причем на промежутках (- ∞; -1) и (1;∞) направления выпуклости графика вниз, а на промежутке (-1; 1) – вогнут книзу.