Задание для самостоятельной работы. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: Часть 1

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: Часть 1.

Ответы: (ед²)

Часть 2.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5)

 

Ответы: (ед²)

Лекция 4. Геометрическое приложение определенного интеграла. Вычисление объемов

4.1. Вычисление объемов тел вращения

Тело вращения – это тело, полученное вращением плоской фигуры вокруг одной из сторон. В нашем случае вращаемая фигура – это криволинейная трапеция. Вращать ее можно вокруг оси X и вокруг оси Y (тела при этом получаются разные).

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]. Тогда объем тела, полученного вращением рассматриваемой криволинейной трапеции:

 

1. Вокруг оси X:

Заштрихованная в диагональ фигура – это исходная криволинейная трапеция.

Заштрихованный эллипс – это круг радиуса R, который получается при вращении выделенного отрезка вокруг оси X. Площадь этого круга:

Тогда объем:

2. Вокруг оси Y:

Т.е. здесь нужно выразить x через y и вычислить пределы интегрирования.

 

4.2. Решение задач

1) Получим знакомую формулу для вычисления объема конуса

Конус получается вращением прямоугольного Δ LOh вокруг OX.

Сверху фигура ограничена прямой; это график линейной функции

Тогда:

При условии, что , имеем

 

2) Вычислить объем тела, полученного при вращении фигуры, ограниченной линиями: вокруг OX.

Это тело называется параболоид вращения

– это верхняя часть параболы

Ответ: 32π ед³

 

3) Вычислить объем тела, полученного при вращении фигуры, заключенной между графиками функций

вокруг OY.

 

1. Сначала строим тело, о котором идет речь. Оно получено вращением заштрихованной фигуры вокруг оси Y.

2. Определяем пределы интегрирования: c = o, d =?

Значение d соответствует точке, в которой пересекаются графики.

т.е. d = 3

3. Подынтегральная функция:

4. По формуле:

Ответ: 0,4 π ед³