Рекомендации к решению заданий. 1. Найдем частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальному условию у(0)=0

1. Найдем частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальному условию у (0)=0.

Заданное уравнение является линейным. Полагаем и Подставим в исходное уравнение, получим

(1)

Подберем функцию так, чтобы выражение, содержащиеся в скобках, обращалось в нуль:

После интегрирования получим При равенство (1) обратится в уравнение

Общее решение исходного уравнения будет или . Используя начальные условия, вычислим соответствующее ему значение постоянной С: .

Тогда частное решение имеет вид у =sin x.

2. Найдем частные решения линейных однородных уравнений второго порядка:

a) ;

б) ;

в) .

a) составим характеристическое уравнение Корни этого уравнения поэтому общее решение записывается в виде . Чтобы получить частное решение, необходимо подставить начальные данные в выражение для Получим , откуда следовательно, искомое решение будет иметь вид ;

б) cоставим характеристическое уравнение к ²–2 к +1=0. Оно имеет два равных корня к₁=к₂=1, тогда общее решение записывается в виде у= с ₁ е^х + с ₂ хе^х, откуда . Учитывая начальные условия, получим откуда с ₂=1. Искомое частное решение будет иметь вид у = е^х + хе^х;

в) cоставим характеристическое уравнение к ²+4 к +13=0. Это уравнение не имеет вещественных корней. Тогда общее решение записывается в виде .

В нашем случае т. е. .

Для нахождения частного решения дифференциального уравнения вычислим первую и вторую производные от найденного общего решения: .

Воспользовавшись заданными начальными условиями, получим:

откуда с ₁ = 0, .

Частное решение будет иметь вид .

Задание 13

Задачи 241–260. Найти: а) частное решение дифференциального уравнения первого порядка; б) частное решение линейного однородного уравнения второго порядка.