Рекомендации к решению заданий. 1. Исследуем на сходимость ряд

1. Исследуем на сходимость ряд . Для этого рассмотрим абсолютные величины членов исходного ряда .

При этом или поэтому члены заданного ряда монотонно убывают по абсолютной величине. Кроме того, Выполнены все условия признака Лейбница, следовательно ряд сходится.

2. Найдем радиус сходимости степенного ряда и определим характер сходимости ряда на концах интервала сходимости. По формуле найдем радиус сходимости:

где Тогда в интервале ряд сходится абсолютно. Выясним вопрос сходимости ряда на концах интервала, т. е. в точках , . При заданный ряд принимает вид

Это числовой знакочередующийся ряд. Его общий член по абсолютной величине монотонно убывает и стремится к нулю при n®¥. Таким образом, все условия признака Лейбница выполнены и ряд сходится, т.е. точка принадлежит области сходимости заданного ряда. При исходный ряд принимает вид

Это числовой знакоположительный ряд, который, очевидно, расходится (сравните его с гармоническим рядом). Следовательно, точка не принадлежит области сходимости заданного ряда. Таким образом, область сходимости данного степенного ряда . Вне этого интервала ряд расходится.

Задание 14

Задачи 261–280. Требуется: а) исследовать на сходимость с помощью признака Лейбница знакочередующийся ряд; б) найти радиус сходимости степенного ряда и определить тип сходимости ряда на концах интервала сходимости.