Рекомендации к решению заданий. 1. Найдем область определения функции

1. Найдем область определения функции

и изобразим ее геометрически.

Область определения данной функции определяется системой неравенств

Построим границы области определения:

х ²+ у ²=1 – окружность R =1, центр (0;0);

х ²+ у ²=4 – окружность R =2, центр (0;0);

х ²+ у ²³1 – окружность R=2, центр (0;0);

x ²+ y ²³1 – внешняя часть круга радиуса 1;

x ²+ y ²£4 – внутренняя часть круга радиуса 2.

Областью определения данной функции является изображенное кольцо, границы которого входят в область определения функции.

2. Исследуем данную функцию на экстремум: Z =2 x ²– xy + y ²–3 x – y +1; x ÎR, y ÎR.

Найдем частные производные первого порядка:

; .

Найдем стационарные точки: , откуда x =1, y =2.

Таким образом, стационарной точкой функции является М(1; 2).

Проверим достаточные условия существования экстремума функции. Для этого найдем значения частных производных второго порядка:

; ; .

Составим выражение AC–B² =4×2–(–1)²=7>0 – экстремум существует. Так как А =4>0, то функция в точке М имеет минимум.

Z _min(1; 2) = 2×1²–1×2+2² –3×1–2+1=2–2+4–3–2+1=0, Z _min=0.

Задание 11

Задачи 201-220. Найти область определения функции двух переменных и изобразить ее геометрически.

Задание 12

Задачи 221–240. Исследовать на экстремум функции.

Тема 9. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Вопросы для самопроверки

1.Сформулировать теорему существования и единственности решения дифференциального уравнения.

2. Что называется общим решением, частным решением дифференциального уравнения?

3. Какой вид имеет дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными?

4. Какой вид имеет общее решение линейного однородного уравнения второго порядка?