К выполнению задания 2.1

Выполнение задания 2.1. требует от студента умения строить эпюры продольных сил, нормальных напряжений т определять удлинения или укорочения бруса. К решению этих задач следует приступать после изучения тем «Основные положения» и «Растяжение-сжатие», уяснения приведенных ниже методических указаний и разбора примеров.

Все детали машин при их взаимодействии деформируются – изменяют размеры. Различают несколько состояний деформирования: упругая деформация, пластическая деформация и разрушение. Упругая – исчезает после снятия нагрузок, пластическая – остается. Если деталь деформируется упруго, то состояние называют прочностью.

Растяжением (сжатием) называют такой вид нагружения бруса, при котором в его поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор – продольная сила N. Продольная сила в произвольном поперечном сечении бруса численно равна алгебраической сумме внешних сил, действующих на отсеченную часть.

Установим следующее правило знаков: внешняя сила, направленная от сечения, считается положительной, то есть дает положительную растягивающую продольную силу; в противном случае внешняя сила отрицательна.

Состояние материала бруса против растягивающих (сжимающих) действий (внешних сил) определяется параметром, называемым «нормальное напряжение» σ, тем большим, чем большая действует нагрузка. При одной и той же нагрузке более напряженным будет брус с меньшей площадью поперечного сечения. Следовательно, напряжение прямо пропорционально нагрузке N и обратно пропорционально площади сечения А.

σ= ; Н/м²=Па; Н/мм².

Деформация бруса длиной ℓ от действия растяжения – сжатия называется удлинением ∆ℓ. Если рассматривают деформацию каждого метра бруса, то ее называют относительным удлинением.

ε= .

Между деформацией в стадии упругости и напряжением существует зависимость – закон Гука: σ=Е∙ε.

Она выражает прямую пропорциональность между напряжением и относительным удлинением. Коэффициент Е называется модулем упругости.

Е= .

Модуль упругости стали - 2∙10⁵ Н/мм², чугуна – 10⁵ Н/мм², резины – 80Н/мм².

Упругое состояние гарантированно сохраняется до определенного значения напряжения, которое называют допустимым [σ]. До достижения этого напряжения материал считается достаточно прочным. Поэтому состояние прочности выражается формулой σ≤[σ].

Для анализа состояния деталей, имеющих форму бруса (длина значительно больше размеров поперечного сечения) строят график – эпюру, зависимости напряжений σ, Н/мм².

Эпюра позволяет определить наиболее напряженный участок бруса.

Пример 2.1. стальной ступенчатый брус (рис.14) нагружен силами F₁=18 кН, F₂=6 кН. Площади сечений ступеней А₁=1,4см², А₂=0,8см².

Определить прочность ступеней, наиболее нагруженный участок, удлинение бруса.

Решение

1. Разбиваем брус на три участка (рис.15), границами которых являются точки приложения сил или изменения площади сечения. Первый (справа) – от точки приложения силы F₁, то точки приложения силы F₂, второй – от точки приложения силы F₂, до границы ступеней площадью сечения А₁ и А₂, третий – от границы ступеней до заделки. Силу заделки можно не определять.

Разбивка бруса на участки ведется от свободного конца бруса, также рассматриваются продольные силы с учетом независимости их действия.

2. Определяем силу N₁ сопротивления первого участка растяжению. Равновесие участка обеспечивается равенством

F₁-N₁=0; N₁=F₁=18кН.

Напряжение на первом участке

σ₁=

Поскольку ни сила, ни площадь на протяжении всего участка не меняются, то и напряжение по все длине участка постоянно. На графике-эпюре (рис.15) это изобразится прямой ℓ (на этом участке σ=128Н/мм²=const).

Удлинение первого участка σ₁=Еε, откуда σ₁=Е и

∆ℓ= =5,2∙10^-2мм=5,2∙10^-8м.

3. Определяем силу N₂ сопротивления второго участка и напряжения σ₂. Правая от второго сечения часть подвергается действию сил F₁; F₂ и N₂

F₁+F₂-N₂=0, N₂=F₁+F₂=18+6=24rY/

σ₃=

 

∆ℓ₂=

4. Сила N₃, напряжение σ₃, удлинение ℓ₃, третьего участка. Правая от сечения часть балки подвергается действию сил F₁; F₂; N₃

F₁+F₂-N₃=0, N₃=24кН.

σ₃=

∆ℓ₃=

Нанося полученные характерные точки на график и соединяя их прямыми линиями, получаем эпюру напряжений, рис.15.

5. Общее удлинение бруса

∆ℓ=∆ℓ₁+∆ℓ₂=∆ℓ₃=5,2∙10^-2+3,4∙10^-2+11,5∙10^-2=20,1∙10^-2мм=20,1∙10^-8м.

6. Анализируем эпюру. Первый участок прочен

σ₁<[σ], 128<160,

но не экономичен, так как

Второй не достаточно прочен, третий не прочен.

σ₂>[σ], 171>160,

σ₃>[σ], 300>160

Наиболее нагружен третий участок σ₃>σ₂>σ₁/

Примечание. Участок 1 находится в стадии упругости. Участок 2 – тоже: σ₂>[σ], но незначительно. Допустимые напряжения назначаются несколько ниже стадии упругости. Поэтому формула закона Гука здесь правомерна.

На третьем участке напряжения значительно превышают допустимые, что означает переход в стадию текучести. В этой стадии деформация определяется экспериментально. Формула же применена для демонстрации способа определения полной деформации бруса. На третьем участке может произойти разрушение.

Задание 2.2.

Определить диаметр стального вала постоянного сечения из условия прочности, приняв [τ]=30Н/мм².

Исходные данные в таблице 2.2., рис.16.

 

 

Таблица 2.2.

№ задачи; схемы на рис. 16	Вариант	Р1,кВт	Р4,кВт	Р3,кВт	Ω, рад/с	№ задачи; схемы на рис. 16	Вариант	Р1, кВт	Р4, кВт	Р3, кВт	Ω, рад/с