К выполнению задания 2.3

Поперечные силы, направленные через центр тяжести сечения балки, вызывают ее деформацию – прямой поперечный изгиб. У изогнутой выпуклостью вверх балки верхние волокна удлиняются, нижние сжимаются. Препятствует возникновению этих противоположных по направлению деформаций пара внутренних сил. Действие пары определяется параметром, называемым изгибающим моментом М_и.

При определении изгибающего момента в данном сечении балку представляют состоящей из двух частей: левой от сечения и правой. Тогда изгибающим моментом в сечении будет внутренний момент в сечении левой части М_ил, противодействующий и равный сумме моментов внешних сил правой части ∑М_ип, наоборот, изгибающий момент – это момент правой части М_ип, противодействующий и равный сумме моментов внешних сил левой части ∑М_ил. Поскольку в данном сечении изгибающие моменты равны, но противоположны по направлению, это следует учесть при построении эпюры изгибающего момента. Таким образом,

М_ил=∑М_п; М_ил=-∑М_л.

Однако изгибающий момент недостаточно определяет напряженность балки. Более точно ее характеризует другой параметр действия внутренних сил – напряжение изгиба σ_и. Напряжение изгиба учитывает влияние изгибающего момента М_и, площадь сечения А и высоту сечения. Геометрические параметры: площадь А=b∙h и высота h объединяются в один параметр – момент сопротивления W_х

W_х=bh∙

где b – ширина прямоугольного сечения.

Напряжение изгиба

σ_и=

Проверочные и проектировочные расчеты обычно проводят для наиболее опасного сечения, в котором действует максимальный изгибающий момент М .

Опасное сечение находят построением эпюр изгибающего момента.

Пример 2.3. Для стальной балки, нагруженной как на рис.20, построить эпюру изгибающих моментов и подобрать сечение балки в двух вариантах: а)двутавр; б)квадрат. Определить отношение массы балки квадратного сечения к массе балки двутаврового сечения. Допускаемое напряжение на изгиб [σ]=130МПа.

Решение

1. Разбиваем балку на три участка по местам действий силовых факторов: F₁, М₁, F₂ (рис.20).

2. Определяем изгибающий момент в сечении I на расстоянии х₁ (рис.20)

F₁∙х₁; при х₁=0, 0 при х₁=1м; 10∙1=10кНм.

3. Изгибающий момент в сечении II на расстоянии от начала второго участка Х₂. Сечение делит балку на две части: левую от заделки до сечения II и правую – от сечения II до конца балки, длиной Х₂+1.

F₁(х₂+1)-М;

при х₂=0; 10(0+1)-30=-20кНм,

при х₂=3; 10(3+1)-30=10кНм.

4. Изгибающий момент в сечении III. Правая часть от сечения имеет длину: Х₃+3+1.

F₁(х₃+3+1)-М-F₂∙х₃

при х=0, 10(0+3+1)-30-20∙0=10кНм;

при х=2; 10(2+3+1)-30-20∙2=-10кНм.

Нанося полученные характерные точки на график и соединяя их прямыми линиями, получаем эпюру изгибающих моментов М_и (рис.21).

5. Определяем момент сопротивления сечения в точке приложения пары М: здесь изгибающий момент имеет максимум М_и=20кНм. Имея в виду, что σ=[σ]

[σ]= ; W_х=

или W_х=125см³.

5.1. По таблицам сортамента ГОСТ 8239-79 W_х=125см³ обеспечивает двутавр N18 с W_х=143см³, А₁=23см². (приложение 1).

5.2. Сторона и площадь квадрата с W_х=143см³

W_х=h³/6; h= . А₂=h²=90,25см².

5.3. Выигрыш в материале от применения двутаврового сечения

К= .