Наклонная плоскость. Равновесие тела на наклонной плоскости

Наклонную плоскость дает возможность выиграть в силе.

Для рассмотрения вопроса о равновесии тела на наклонной плоскости нам понадобится знание подобных треугольников.

 

Примечание: Для обозначения подобия треугольников употребляется специальный знак «~». Запись ~ читается так: «Треугольник АВС подобен треугольнику А'В'С'».

Из математики известно, что у подобных треугольников соответствующие углы равны и отношение соответствующих сторон есть величина постоянная.

Соответствующими называются стороны, лежащие против равных углов треугольников.

То есть, если ~ , то ÐА = ÐА₁, ÐВ = ÐВ₁, ÐС = ÐС₁ и ,

где k – постоянная величина, называемая коэффициентом подобия.

 

Признаки подобия треугольников.

Два треугольника подобны, если:

1. два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого;

2. две стороны одного пропорциональны двум сторонам другого и углы образованные этими сторонами, равны;

3. стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого.

АВ=L – длина наклонной плоскости

ВС=h – высота наклонной плоскости

АС=а – длина основания наклонной плоскости

α – угол наклона

Будем считать, что сила трения равна нулю.

 

Пусть тело массой m лежит на наклонной плоскости.

Какую силу нужно приложить к телу, чтобы оно находилось в равновесии?

I. Удерживающая сила направлена параллельно наклонной плоскости.

Пусть - сила тяжести, действующая на тело; - сила реакции опоры.

Разложим силу тяжести на две составляющие: силу , перпендикулярную к наклонной плоскости АВ, и силу , параллельную наклонной плоскости АВ, которую часто называют скатывающей. С силой равной тело будет давить на наклонную плоскость.

Для того чтобы удержать тело на наклонной плоскости, надо приложить к нему силу , направленную вверх параллельно наклонной плоскости АВ и равную по величине силе , т. е. .

~ , так как ÐА = ÐD (как углы со взаимно перпендикулярными сторонами: OD^AC и DE^AB), ÐВ = ÐO, ÐС = ÐE = 90°. Следовательно, .

С учетом того, что ВС=h, AB=L, OE=F₃, DO=F₁, получим .

При равновесии тела на наклонной плоскости скатывающая сила во столько раз меньше силы тяжести, действующей на тело, во сколько раз высота наклонной плоскости меньше ее длины.

С учетом того, что , получим

Если поднимать тело на высоту h с помощью наклонной плоскости, прикладывая силу , параллельную наклонной плоскости, то наклонная плоскость дает выигрыш в силе во столько раз, во сколько раз ее длина больше ее высоты.

 

II. Удерживающая сила направлена параллельно основанию наклонной плоскости.

Пусть - сила тяжести, действующая на тело;

- сила реакции опоры.

Разложим силу тяжести на две составляющие: силу , перпендикулярную к наклонной плоскости АВ, и силу , параллельную основанию наклонной плоскости АС.

С силой равной тело будет давить на наклонную плоскость.

Для того чтобы удержать тело на наклонной плоскости, надо приложить к нему силу , направленную параллельно основанию наклонной плоскости АС и равную по величине силе , т. е. .

~ , так как ÐА = ÐD (как углы со взаимно перпендикулярными сторонами: OD^AC и DE^AB), ÐВ = ÐЕ, ÐС = ÐО = 90°. Следовательно, .

С учетом того, что ВС=h, AС=a, OE=F₃, DO=F₁, получим .

При равновесии тела на наклонной плоскости сила, направленная параллельно ее основанию, во столько раз меньше силы тяжести, действующей на тело, во сколько раз высота наклонной плоскости меньше ее основания.

С учетом того, что , получим

Если поднимать тело на высоту h с помощью наклонной плоскости, прикладывая силу , параллельную основанию наклонной плоскости, то наклонная плоскость дает выигрыш в силе во столько раз, во сколько раз длина ее основания больше ее высоты.

Примечание: Условие равновесия тел на наклонной плоскости нашел в XVI веке голландский ученый Симон Стевин (1548–1620).

 

Клин.

Клин предназначен для раскалывания прочных предметов. Его так же вгоняют в щели между деталями, чтобы создать бóльшую силу давления одной детали на другую и тем самым увеличить силу трения покоя между ними, что обеспечивает их надежное сцепление.

Клин представляет собой разновидность наклонной плоскости.

 

 

АВ = АС = L – длина щеки клина

ВС = а – ширина обуха клина

 

Рассмотрим действие клина при колке дров.

Будем считать, что вес клина равен нулю.

Пусть - сила, действующая на обух клина.

Найдем силы, с которыми клин действует на полено, разложив силу на две составляющие , перпендикулярные щекам клина. Причем F₁=F₂, из соображений симметрии.

Каждая из этих составляющих равна и противоположна той силе (не изображена на рисунке), с которой раскалываемое полено действует на клин.

Если бы не была приложена сила , то клин при отсутствии трения, был бы вытолкнут из полена.

Так как и - равнобедренные треугольники (АВ=АС; ЕО=ЕД), то ÐВ=ÐС и ÐО=ÐD.

С учетом того, что ÐА=ÐЕ (как углы со взаимно перпендикулярными сторонами: ОЕ^AB и ЕD^AC), получим ÐВ=ÐС=ÐО=ÐD.

Таким образом ~ . Следовательно, .

Так как OD= , EO= , BC=a, AB=L, получим

При равновесии клина сила, действующая перпендикулярно его обуху, во столько раз меньше силы, действующей перпендикулярно щеке клина, во сколько раз ширина обуха меньше длины щеки.

 

Винт.

Винт является разновидностью наклонной плоскости.

Винт представляет собой цилиндрическое тело с резьбой. Резьба делается по винтовой линии.

Чтобы наглядно представить себе один виток резьбы винта, возьмем наклонную плоскость высотой h с длиной основания a. Свернем ее, наложив на цилиндр с радиусом основания r. Причем должно выполняться условие: длина основания наклонной плоскости равна длине окружности основания цилиндра, т. е. a=2πr.

Тогда гипотенуза АВ на поверхности цилиндра опишет один виток резьбы винта.

 

 

h называют шагом винта.

Обычно винт применяют вместе с гайкой, имеющей такую же резьбу, как и винт.

Поворачивая гайку, надетую на болт. Мы поднимаем ее по наклонной плоскости, прикладывая силу, параллельную основанию наклонной плоскости.

Будем считать, что сила трения равна нулю. Тогда согласно пункту 42 II имеем: ,

где F – сила, которую прикладывают к гайке, направленная параллельно основанию винта;

F₁ – сила тяжести, действующая на гайку;

h – шаг винта;

а=2πr – длина окружности основания винта.

Таким образом, для винта имеем:

Сила, действующая по касательной к окружности основания винта, во столько раз меньше силы, действующей на винт вдоль его оси, во сколько шаг винта меньше длины окружности основания винта.

Примечание: 1) Винт изобрел Архимед.

2) Обычно винт сочетается с рычагом (гаечный ключ, ручка отвертки).