Глава 4 качение тела по наклонной плоскости

Рассмотрим качение цилиндра или шара по наклонной плоскости, образующей угол α с горизонтом (рис. 3). На цилиндр действуют три силы: сила тяжести , сила нормального давления плоскости на цилиндр и сила трения цилиндра и плоскости .

Запишем уравнение динамики поступательного движения, считая, что все силы приложены к центру масс:

(4.1)

где — проекция силы тяжести, направленная вдоль наклонной плоскости.

При скатывании с наклонной плоскости цилиндр вращается относительно оси, совпадающей с геометрической осью цилиндра. В уравнении динамики вращательного движения цилиндра относительно оси, проходящей через центр масс, необходимо учесть только момент силы трения, равный

(4.2)

где R — радиус цилиндра. Само уравнение динамики запишем следующим образом:

(4.3)

где - момент инерции цилиндра, - угловое ускорение.

Если качение цилиндра по наклонной плоскости происходит без проскальзывания, то линейное и угловое ускорение связано соотношением:

Решая совместно уравнения (4.1), (4.3) и (4.4) находим ускорение тела:

(4.5)

Будем считать, что цилиндр скатывается без начальной скорости с наклонной плоскости длиной . Тогда линейная скорость центра масс в нижней точке наклонной плоскости будет равна:

(4.6)

Анализируя полученное выражение для скорости тела можно убедиться в том, что при фиксированных значениях угла наклона и длины наклонной плоскости, она не зависит от массы тела, а зависит только от распределения массы относительно оси вращения. При вычислении скорости сплошного однородного цилиндра следует брать момент инерции , для шара тонкостенного полого цилиндра .