Тема 5. Определение основной тенденции

ДИНАМИЧЕСКОГО РЯДА

Исходные данные:

n изучаемые моменты или периоды времени ti;

n изучаемые уровни (показатели) Уi.

Определить:

n коэффициенты выбранного типа зависимости изучаемого показателя от времени - а0 а1;

n теоретические уровни изучаемого показателя - Уti;

n - оценить адекватность выбранного типа зависимости на основе использования стандартизированной ошибкой апроксимации s_Yt.

Методические указания

Необходимо найти плавную линию вокруг которой происходят колебания вверх и вниз фактических значений изучаемого показателя, т.е. произвести выравнивание РД.

Эта линия выражается в виде функции Уt=f(t). Цель состоит в том, чтобы определить вид этой функции (теоретический уровень) и ее коэффициенты.

Этап. Подбор типа функции.

Для определенного вида кривых выделено несколько классов уравнений, т.е. существуют эталонные типы развития:

а) прямая: Уt=а0 + а1*t;

б) парабола 2 порядка: Уt = а0 + а1*t + a2*t ²

в) парабола 3 порядка: Уt= a0 + a1*t + a2*t² + a3*t³

г) показательная функция: Уt = а0*а1^t

е) cтепенная функция: Уt = а0*t ^a1

Могут быть использованы и другие типы зависимостей.

Этап. Определение параметров уравнения.

Выбрав вид функции, необходимо определить ее параметры при помощи метода наименьших квадратов.

Методом наименьших квадратов для уравнения прямой получаем следующие уравнения:

åⁿ_i=1 Y_i*åⁿ_i=1t_i² - åⁿ_i=1 t_i*Y_i*åⁿ_i=1t_i

a₀= —————————————————,

n*åⁿ_i=1t_i² – (åⁿ_i=1t_i)²

 

nåⁿ_i=1t_i*Y_i - åⁿ_i=1t_i*åⁿ_i=1Y_i

a₁= ——————————————,

n*åⁿ_i=1t_i² – (åⁿ_i=1 t_i)²

где n - количество единиц совокупности,

ti- порядковый номер момента или периода времени.

Расчеты можно упростить, если время считать от условного начала, т.е. в середине исходного ряда:

а) При нечетном числе членов ряда порядковый номер уровня (n+1)/2 принять за 0. От него влево (вверх) пронумеровать уровни по порядку со знаком " - ", после него (справа или вниз) - со знаком "+".

Пример.

t1	t2	t3	t4	t5	t6	t7
-3	-2	-1		+1	+2	+3

Такое условное масштабирование времени наблюдения уровней позволяет упростить выражение, т.к. åⁿ_i=1t_i = 0 и поэтому получаем:

b) При четном числе уровней нулевое значение условного времени выбирается между двумя центральными значениями.

Пример.

t1	t2	t3	t4	t5	t6
-5	-3	-1	+1	+3	+5

Обратить внимание на то, что интервалы между наблюдениями должны быть равными при масштабировании времен наблюдения.