Классификация случайных процессов

Пусть задано вероятностное пространство — тройка (Ω, F, P), где

Ω — это произвольное множество, элементы которого называются элементарными событиями, исходами или точками;

F — сигма-алгебра подмножеств Ω, называемых (случайными) событиями;

Р — вероятностная мера или вероятность, т.е. сигма-аддитивная конечная мера, такая что P(Ω) = 1.

Пусть функция X: Ω → R, измеримая относительно F, называется случайной величиной (СВ).

Тогда параметризованное семейство {Xt}, t є T, случайных величин Xt(•): Ω → R, t є Т, где Т произвольное множество, называется случайной функцией. Если T С R, то параметр t є Т может интерпретироваться как время. Тогда случайная функция {X(t)} называется случайным процессом (СП). Если множество Т дискретно, например T С N, то такой СП называется случайной последовательностью.

Стационарным называется процесс, вероятностные характеристики которого не зависят от времени. Эргодическим называется процесс, вероятностные характеристики которого не зависят от номера реализации.

В теории СП различают стационарность в широком и узком смыслах. Данное выше определение относится к СП, стационарным в узком смысле. Когда от времени не зависят только одно- и двумерные вероятностные характеристики, СП считается стационарным в широком смысле. Если условие стационарности не выполняется хотя бы для одной вероятностной характеристики, СП называется нестационарным по этой характеристике.

Моделирование СП

Для решения задачи моделирования ПСП с заданным законом распределения случайный процесс подвергается нелинейному преобразованию. Теоретической базой для определения вида и характеристик нелинейной функции является теория функций случайного аргумента.

Допустим, случайная величина X имеет плотность распределения вероятности , а необходимо получить выходную величину Y с плотностью распределения вероятностей .Таким образом, мы должны определить вид нелинейной функции преобразования у = g(х).