Додавання гармонічних коливань однакового напрямку і однакові частоти

Розглянемо додавання двох коливань однакового напрямку з однаковими періодами, які відбуваються з деякою різницею фаз і мають різні амплітуди. Нехай ці коливання відбуваються в напрямі осі x. Запишемо рівняння цих коливань

(1)

Циклічні частоти ω в обох випадках однакові. Зміщення x від положення рівноваги, при участі тіла одночасно в двох коливаннях, виражається алгебраїчною сумою

Або

(2)

Для знаходження результуючої амплітуди А і початкової фази результуючого коливання φ використаємо векторну діаграму (рис.1).

Так-як вектори і обертаються з однаковою циклічною частотою ω, то різниця фаз між ними залишається постійною. Результуючу амплітуду А в цьому випадку визначають за теоремою косинусів, тобто

(3)

або з урахуванням того, що одержуємо:

Рис.1

(4)

(5)

Початкова фаза результуючого коливання φ дорівнює

(6)

Значення амплітуди (5) і початкової фази (6) підставимо в рівняння (2), одержимо

(7)

Додавання взаємно перпендикулярних коливань. Нехай матеріальна точка С одночасно бере участь у двох гармонічних коливаннях з однаковою циклічною частотою у взаємо перпендикулярних напрямках (рис. 4).

При збудженні коливань матеріальна точка С буде рухатись по деякій криволінійній траєкторії, форма якої залежить від різниці фаз обох коливань.

Рівняння коливань точки в напрямках осі x і осі y матимуть вигляд

(23)

де – спільна різниця фаз цих коливань.

Щоб отримати рівняння траєкторії у звичайному вигляді, треба виключити з цих рівнянь час t.

Рис.4

В результаті отримаємо

Згасаючі коливання — коливання, енергія яких зменшується з плином часу. Процес, що триває нескінченно, виду в природі неможливий. Вільні коливання будь-якого осцилятора рано чи пізно загасають і припиняються. Тому на практиці звичайно мають справу з затухаючими коливаннями. Вони характеризуються тим, що амплітуда коливань A є спадною функцією. Зазвичай загасання відбувається під дією сил опору середовища, найбільш часто залежних лінійно від швидкості коливань або її квадрату.

(дифер.рівняння)

Коефіцієнт затихання β обернено пропорційний часу, протягом якого амплітуда зменшується в е раз. Однак коефіцієнта загасання недостатня для характеристики загасань коливань. Тому необхідно ввести таку характеристику для загасання коливань, в яку входить час одного коливань. Такий характеристикою є декремент (по-російськи: зменшення) затуханіяD, який дорівнює відношенню амплітуд, віддалених за часом на період:

Логарифмічний декремент загасання дорівнює логарифму D:

Ще однією характеристикою коливальної система є добротність Q.

Добротність Q коливальної системи називається число, що показує у скільки разів сила пружності більше сили опору.

Розглянемо коливання протягом, деякого часу τ, за яке амплітуда зменшиться в е раз

τ - час релаксації.

Вимушеними називаються коливання, що відбуваються під дією періодичної зовнішньої сили. Щоб у реальній коливальній системі отримати незатухаючі коливання, треба компенсувати втрати енергії. Така компенсація можлива за допомогою якого-небудь періодичного чинника х(t), який змінюється за гармонійним законом:

де — частота.

Для вимушених коливань характерне явище резонансу — значне збільшення амплітуди коливань тоді, коли частота збурення збігається із одною з власних частот коливної системи.

1. Диференціальне рівняння вимушених коливань і його розв’язування

Щоб у реальній коливальній системі одержати незатухаючі коливання, треба компенсувати цій системі втрати енергії. Таку компенсацію можна здійснити за допомогою якого-небудь періодично діючого фактора X(t), якийзмінюється за гармонічним законом:

Для механічних коливань пружинного маятника роль X (t) відіграє зовнішня вимушуючи сила

(1)

З урахуванням цієї сили закон руху пружинного маятника запишеться у вигляді

Якщо скористатися позначеннями , , то прийдемо до рівняння

(2)

Рівняння (2) є неоднорідним лінійним диференціальним рівнянням другого порядку. Розв’язок такого рівняння складається з двох частин, загального розв’язку відповідного рівняння без правої сторони і часткового розв’язку цього рівняння з правою стороною, тобто

де A₀ ─ амплітуда зміщення в початковий момент часу (t=0); А ─ амплі-туда коливань, яка установиться через деякий час.

Через деякий час t₁, завдяки дії вимушеної сили F₀, амплітуда коливань досягне максимального значення (рис. 1). З цього моменту часу розв’язком рівняння (2) буде лише функція

(3)

Рис. 1

Відповідні похідні від (3) підставимо в рівняння (2), одержимо

(4)

У виразі (4) сталі величини А і ω повинні мати такі значення, щоб гармонічна функція дорівнювала сумі трьох гармонічних функцій, які стоять в лівій частині рівняння. Для виконання цієї умови, необхідно щоб сума трьох векторів при відповідних косинусах в лівій частині (4) дорівнювала вектору, який стоїть біля косинуса в правій частині. Однак вектори і напрямлені по одній лінії, але в різні боки. Вектор напрямлений перпендикулярно до перших двох. Зазначена вище умова може бути реалізована за допомогою векторної діаграми (рис. 2).

Векторна діаграма дає можливість визначити амплітуду і початкову фазу вимушених коливань. З діаграми видно, що

. (5)

Рис. 2

Звідки амплітуда вимушених коливань буде дорівнювати

(6)

Початкова фаза вимушених коливань, як видно з векторної діаграми, дорівнює

(7)

З урахуванням співвідношень (6) і (7) розв’язок диференціального рівняння вимушених коливань (2) матиме вигляд

(8)

Резонанс - явище різкого зростання амплітуди вимушених коливань, яке наступає при наближенні частоти зовнішнього впливу до деяких значенням (резонансним частотам), що визначаються властивостями системи.Збільшення амплітуди - це лише наслідок резонансу, а причина - збіг зовнішньої (збуджуючої) частоти з внутрішньою (власної) частотою коливальної системи. За допомогою явища резонансу можна виділити і / або посилити навіть вельми слабкі періодичні коливання. Резонанс - явище, що полягає в тому, що при деякій частоті змушує сили коливальна система виявляється особливо чуйною на дію цієї сили. Ступінь чуйності в теорії коливань описується величиною, званої добротність. Явище резонансу вперше було описано Галілео Галілеєм в 1602 г в роботах, присвячених дослідженню маятників і музичних струн.

Хвилі - це зміна стану середовища (обурення), розповсюджуються в цьому середовищі і що несуть з собою енергію і імпульс без перенесення речовини.
Прикладом хвильового руху може бути обурення води від падаючих крапель, яке поширюється у вигляді розширюються концентричних кіл.

поздовжні хвилі - частинки середовища коливаються паралельно (по) напрямку поширення хвилі;
поперечні хвилі - частинки середовища коливаються перпендикулярно до напрямку поширення хвилі(тільки в тевердих тілах);

Швидкість хвилі визначається властивостями середовища, в якій ця хвиля поширюється. При переході хвилі з одного середовища в іншу її швидкість змінюється.

К-хвильове число; w-частота.

Хвиля описується двома основними характеристиками. Перша з них, амплітуда, відбиває потужність або інтенсивність коливання. Друга, частота, дає уявлення про те, що відбувається коливання в часі.

Амплітуда хвилі відповідає відстані між базисної прямий і вершиною гребеня.

Частоту найчастіше оцінюють за кількістю циклів, що здійснюються за одну секунду, і виражають у герцах (1Гц = 1 цикл в секунду).

Хвильове́ рівня́ння — рівняння, яке описує розповсюдження хвиль у просторі.

Хвильове рівняння є зазвичай рівняння другого порядку у часткових похідних гіперболічного типу, хоча існують хвильові рівняння інших порядків та інших типів.

У одномірному випадку хвильове рівняння записується.

де u — невідома функція, яка описує хвилю, x — просторова координата, t — час, s — фазова швидкість поширення хвилі.

Хвильові рівняння мають багато можливих розв'язків. Реалізація того чи іншого із них залежить від граничних та початкових умов: від того, як хвиля народилася, які перешкоди зустрічає на своєму шляху тощо.

Загальний розв'язок хвильового рівняння подається суперпозицією функцій типу

де — амплітуда хвилі, k — хвильове число, ω — циклічна частота, — фаза хвилі.

Хвильове число та частота зв'язані між собою дисперсійним співвідношенням

Пусть v* - скорость частиц среды в какой-то момент времени в какой-то точке пространства (или, точнее, в физически малом объёме dV). Объёмная плотность кинетической энергии Wk запишется (r - плотность среды):

Объёмная плотность потенциальной энергии упруго деформируемой среды равна:

n - фазовая скорость волны, e - относительная деформация среды.

Учитывая, что:

имеем:

Причём в каждой точке пространства объёмные плотности кинетической и потенциальной энергий равны. Этот вывод справедлив для любых волн в упругих средах: полная механическая энергия волны в каждой точке есть сумма двух равных слагаемых, потенциальной и кинетической энергий.

Из вышеприведённой формулы следует, что среднее за период значение объёмной плотности энергии равно:

Вектор Умова-Пойнтінга S = [ExH] - вектор, напрямок якого збігається з напрямком поширення енергії в електромагнітної хвилі, а модуль | S | дорівнює потоку енергії.

Інтенсивністю хвилі називається скалярна величина, що дорівнює модулю середнього значення вектора густини потоку енергії (вектора Умова)