Відношення еквівалентності

Відно́шення еквівале́нтності () на множині — це бінарне відношення для якого виконуються наступні умови:

Рефлексивність

Симетричність

Транзитивність

Запис вигляду «» читається як « еквівалентно ».

Класом еквівалентності елемента називається підмножина елементів, еквівалентних . З зазначеного визначення випливає що, якщо , то .

Множина всіх класів еквівалентності позначається .

Для класу еквівалентності елемента використовується наступне позначення: , , .

Множина класів еквівалентності по відношенню є розбиттям множини.

Приклади відношень еквівалентності[ред.]

Найбільш наочний і всім знайомий приклад відношення еквівалентності — поділ учнів школи на класи.

Відношення рівності («») тривіальне відношення еквівалентності на довільній множині, зокрема на множині дійсних чисел.

Порівняння по модулю, («а ≡ b (mod n)»).

В Евклідовій геометрії

Відношення конгруентності («»).

Відношення подібності («»).

Відношення паралельності прямих («»).

Відношення рівнопотужності множин є еквівалентністю.

Еквівалентність функцій в Математичному аналізі:

кажуть що функція еквівалентна функції при , якщо вона може бути представлена у вигляді: , де при . В даному випадку пишуть , при . Якщо при , еквівалентність функції та при , очевидно, рівносильна відношенню .

Ще один важливий, життєвий випадок: Коли лікар виписує ліки, в рецепті він записує класи еквівалентних ліків. Він не може вказати конкретний приклад абсолютно конкретний екземпляр упаковки таблеток або ампул. Таким чином, всі ліки розбиті на класи відношенням еквівалентності.

Відношення порядку

Відно́шення поря́дку в математиці — бінарне відношення, яке є транзитивним та антисиметричним.

(транзитивність),