Принцип причинности и динамические уравнения

Опыт позволяет утверждать, что начальное состояние системы и ее внешние и внутренние взаимодействия однозначно предопределяют последующие состояния. Это утверждение выражает принцип причинности, который накладывает определенные ограничения на движение системы, связывая состояния системы в различные моменты времени. Помимо закономерной связи состояний в различные моменты времени принцип причинности содержит в себе также утверждение об однонаправленности времени, т.е. его необратимости. Чаще всего принцип причинности в физике выражают динамическими законами или уравнениями, которые определяют развитие с течением времени состояний системы.

Первыми динамическими уравнениями стали уравнения второго закона Ньютона. Для материальной точки (частицы) система трех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка может быть записана в векторной форме:

.

Если известны сила , характеризующая взаимодействия частицы, и шесть начальных условий , , то решение этого уравнения позволяет однозначно определить в момент времени t (детерминировать) координаты и скорости частицы.

Для системы N частиц получаем систему N векторных уравнений, решая которые определяем координаты и скорости частиц. Создается впечатление, что трудности здесь могут возникнуть только математического характера, связанные с решением дифференциальных уравнений. Это послужило основой классического (лапласовского) детерминизма.

В классической физике система понимается как совокупность каких-то частей, связанных между собой определенным образом. Эти части системы могут воздействовать друг на друга, и их взаимовоздействие всегда может оцениваться с позиций причинно-следственных отношений между взаимодействующими элементами системы.

Философское учение об объективности закономерной взаимосвязи и взаимообусловленности явлений материального и духовного мира называют детерминизмом. Центральным понятием детерминизма является положение о существовании причинности; причинность имеет место, когда одно явление порождает другое явление (следствие).

Классическая физика стоит на позициях жесткого детерминизма, который называют лапласовским, – именно Пьер Симон Лаплас провозгласил принцип причинности как фундаментальный закон природы. Лаплас считал, что если известны расположение элементов (каких-то тел) системы и действующие в ней силы, то можно с полной достоверностью предсказать, как будет двигаться каждое тело этой системы сейчас и в будущем. Он писал: «Мы должны рассматривать существующее состояние Вселенной как следствие предыдущего состояния и как причину последующего. Ум, который в данный момент знал бы все силы, действующие в природе, и относительное положение всех составляющих ее сущностей, если бы он еще был столь обширен, чтобы ввести в расчет все эти данные, охватил бы одной и той же формулой движения крупнейших тел Вселенной и легчайших атомов. Ничто не было бы для него недостоверным, и будущее, как и прошедшее, стояло бы перед его глазами». Традиционно это гипотетическое существо, которое могло бы (по Лапласу) предсказать развитие Вселенной, в науке называют «демоном Лапласа».

В классический период развития естествознания утверждается представление о том, что только динамические законы полностью характеризуют причинность в природе.

Лаплас пытался объяснить весь мир, в том числе физиологические, психологические, социальные явления с точки зрения механистического детерминизма, который он рассматривал как методологический принцип построения всякой науки. Образец формы научного познания Лаплас видел в небесной механике. Таким образом, лапласовский детерминизм отрицает объективную природу случайности, понятие вероятности события.

Дальнейшее развитие естествознания привело к новым представлениям причинности и следствия. Для некоторых природных процессов трудно определить причину – например, радиоактивный распад происходит случайно. Нельзя однозначно связать время «вылета» α– или β-частицы из ядра и значение ее энергии. Подобные процессы объективно случайны. Особенно много таких примеров в биологии. В нынешнем естествознании современный детерминизм предлагает разнообразные, объективно существующие формы взаимосвязи процессов и явлений, многие из которых выражаются в виде соотношений, не имеющих выраженных причинных связей, то есть не содержащих в себе моментов порождения одного другим. Это и пространственно-временные связи, отношения симметрии и определенных функциональных зависимостей, вероятностные соотношения и т. д. Однако все формы реальных взаимодействий явлений образуются на основе всеобщей действующей причинности, вне которой не существует ни одного явления действительности, в том числе и так называемых случайных явлений, в совокупности которых проявляются статические законы.

В электродинамике причинная связь характеристик электромагнитного поля и с плотностями зарядов и токов в вакууме выражается системой уравнений Максвелла:

, (1)

, (2)

, (3)

, (4)

где e₀ и m₀ – электрическая и магнитная постоянные, связанные со скоростью света: . Решить систему уравнений Максвелла означает найти поля и при определенных начальных или граничных условиях.

По Фарадею, способность индуцировать токи проявляется по окружности вокруг магнитной равнодействующей. Максвелл записал это высказывание в виде уравнения (1). Из этой записи следует, что переменное магнитное поле окружено вихревым электрическим полем, знак «минус» связан с правилом Ленца: возникает индукционный ток такого направления, чтобы препятствовать изменению, порождающему его. Согласно этому уравнению только изменяющееся магнитное поле порождает ток.

Уравнение (2) отражает факт отсутствия магнитных зарядов

Согласно уравнению (3) любой ток порождает в окружающем его пространстве магнитное поле. Постоянный ток создает постоянное магнитное поле. Такое поле не может вызвать в «следующих» областях пространства электрическое поле. Вокруг переменного тока создается и переменное магнитное поле, способное вызвать в «следующем» элементе пространства электрическое поле незатухающей волны: энергия магнитного поля полностью переходит в энергию электрического и наоборот.

Уравнение (4) описывает электростатическую теорему Гаусса (поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на e₀) и обобщает закон Кулона.

Рассмотренные выше динамические уравнения являются обратимыми в том смысле, что в них можно заменить время t на время, взятое с противоположным знаком – t, и тогда эти уравнения будут по состоянию системы в данный момент времени определять состояния в предыдущие моменты. Но в реальности события разворачиваются всегда так, что время имеет только одно направление. Поэтому применимость динамических уравнений, описывающих идеализированные системы, ограничена. Обычно эти ограничения накладываются искусственно. Например, отбрасываются решения уравнений, соответствующие отрицательному времени.

Волновая функция и уравнение Шредингера. Квантовый детерминизм.

В квантовой физике состояния системы описываются волновой функцией , а ее взаимодействия описываются оператором Гамильтона . Принцип причинности выражается уравнением Шредингера:

.

Решение этого уравнения позволяет в принципе найти волновую функцию системы в момент времени t, если известна волновая функция в начальный момент времени. Но в отличие от решения классических уравнений, которые в момент t определяют координаты и скорости частицы, решение уравнения Шредингера определяет вероятность , с которой частица может быть обнаружена в точке . В этом принципиальное отличие квантового детерминизма от классического детерминизма, т.е. состояния определяются статистически – амплитудой вероятности. Если в классической механике по начальным значениям координат и импульсов частиц можно однозначно определить их значения в последующие моменты времени, то в квантовой механике, во-первых, невозможно одновременно определить координаты и импульсы частиц (принцип неопределенностей), а во-вторых, в последующие моменты времени можно найти только вероятности значений координат и импульсов.

Уравнение Шредингера также как и классические динамические уравнения является обратимым во времени. Поэтому направление времени необходимо задавать дополнительно.