Построение составных поверхностей Эрмита

Матрица Qx. В верхней левой части находится координаты углов куска поверхности. В верх левой и нижн правой частях матрицы помещены тангенсы углового наклона касательных векторов в угловых точках для каждой из граничных параметрических кривых. В нижн правой части раположены часные производные по обоим параметрам в угловых точках.

Описание и построение составных поверхностей. Форма Эрмита.

Для поверхности:

x(s, t) = a_­11­ s³ t³ + a_­12­ s³ t² + a_­13 ­s³ t + a_­14 s³ + a_­21­ s² t³ + a_­22­ s² t² + a_­23 ­s² t + a_­24 s^2­ _­ +

+ a_­31­ s t³ + a_­32­ s t² + a_­33 ­s t + a_­34 s + a_­41­ t³ + a_­42­ t² + a_­43 t + a_­44

или: x(s, t) = S C_­x­ T^T, где S – вектор степеней s, T – вектор степеней t

S

Р4­(t)

t

Р1­(t)

t = 0

t = 0.2

t = 0.4

t = 0.6

t = 0.8

форма Эрмита: x(s) = S M­_h­ G­_hx­

t = 1

x(s, t) = S M­_h­ G­_hx­(t) = S M­_h­­­

P_­1x­(t) = T M_­h­­ P_­4x­(t) = T M_­h­­ R_­1x­(t) = T M_­h­­ R_4x­(t) = T M_­h­­

P_­1x­(t) P_­4x­(t) R_­1x­(t) R_4x­(t) = T M_­h­­

Протранспонируем данное выражение и учитывая, что: (А В С)^Т = А^Т В^Т С^Т, получим:

Тогда: x(s, t) = S M­_h­ Q­_x­ M^T_­h­ T^T

Q­_x­ определяется с помощью точек и углов наклона, где q_­11 ­ - есть x(0, 0), т.к. является начальной точкой для Р­_1х­(t), которая в свою очередь задает начальную точку для x(s,0); q_­12­ – есть x(s, t), т.к. является конечной точкой для Р­_1х­(t), которая в свою очередь задает начальную точку для x(s,t); q_­12 – есть т.к. является начальным касательным вектором для Р­_1х­(t); q_­33­ = , т.к. представляет собой начальный касательный вектор для R­_1х­(t), который в свою очередь задает начальный тангенс угла наклона для x(s,0). Тогда:

В верхней левой части матрицы находится 4 координаты углов куска поверхности; в верхней правой и нижней левой частях помещены тангенсы углов наклона касательных векторов в угловых точках для каждой их граничных параметрических кривых; в нижней правой части расположены частные производные по обоим параметрам в угловых точках, которые являются кривизной.

Форма Эрмита для бикубических кусков поверхностей является одной из форм куска Кунса или поверхности Фергюссона. Для обеспечения непрерывности первой производной бикубического многочлена Эрмита при переходе от одного куска поверхности к другому необходимо, чтобы касательные вектора, пересекающие ребро, имели одно и то же направление; если общее ребро строится при фиксированном параметре s = const, то строки матриц кусков должны соответствовать друг другу.