Построение составных поверхностей методом В-сплайнов

В вычислительной математике B-сплайном называют сплайн-функцию, имеющую наименьший носитель для заданной степени, порядка гладкости и разбиения области определения. Фундаментальная теорема устанавливает, что любая сплайн-функция для заданной степени, гладкости и области определения может быть представлена как линейная комбинация B-сплайнов той же степени и гладкости на той же области определения.[1] Термин B-сплайн был введён И. Шёнбергом и является сокращением от словосочетания «базисный сплайн».[2] B-сплайны могут быть вычислены с помощью алгоритма де Бора, обладающего устойчивостью.

В системах автоматизированного проектирования и компьютерной графике термин B-сплайн часто описывает сплайн-кривую, которая задана сплайн-функциями, выраженными линейными комбинациями B-сплайнов.

Когда количество узлов совпадает со степенью сплайна, B-сплайн вырождается в кривую Безье. Форма базисной функции определяется расположением узлов. Масштабирование или параллельный перенос базисного вектора не влияет на базисную функцию.

Сплайн содержится в выпуклой оболочке его опорных точек.

Базисный сплайн степени n

не обращается в нуль только на промежутке [ti, ti+n+1], то есть

Другими словами, изменение одной опорной точки влияет только на локальное поведение кривой, а не на глобальное, как в случае кривых Безье.

Базисная функция может быть получена из полинома Бернштейна

Описание и построение составных поверхностей. Форма В-сплайнов.

Для поверхности:

x(s, t) = a_­11­ s³ t³ + a_­12­ s³ t² + a_­13 ­s³ t + a_­14 s³ + a_­21­ s² t³ + a_­22­ s² t² + a_­23 ­s² t + a_­24 s^2­ _­ +

+ a_­31­ s t³ + a_­32­ s t² + a_­33 ­s t + a_­34 s + a_­41­ t³ + a_­42­ t² + a_­43 t + a_­44

или: x(s, t) = S C_­x­ T^T, где S – вектор степеней s, T – вектор степеней t

форма В-сплайна: x(s, t) = S M­_s P_­x M_­s^T T^T­_­­,.

P_­x­ – геометрическая матрица, состоящая из 16 управляющих точек, необходимых для достижения свойства выпуклой оболочки

,

M_­s^T – M_­s­ транспонированная

T – транспонированный вектор степеней t

Форма В-сплайн

Кривая, представленная в виде кубического В-сплайна может проходить через любые управляющие точки, она непрерывна и непрерывностью изменения обладает ее касательный вектор и кривизна, т.е. первая и вторая производные кривых в управляющих точках непрерывны, т.е. В-сплайн более гибок.

В-сплайн описывается выражением:

x(t) = T M­_s­ G_­sx­, где

Между каждой парой соседних точек используются геометрические матрицы для осуществления аппроксимации управляющих точек Р­_1­, Р_­2­, …, Р_­N­ последовательностью В-сплайнов. Для аппроксимации на интервале, близком к точкам P­_i­ и P­_i+1­ используется следующий геометрический вектор:

Р­

Р­1

Р­2

Р­3

Р­4

Р­5

Покажем непрерывность первой и второй производной в т. Р_­i+1­:Пусть G_­sx­ = G_­sx­ⁱ_­­, тогда получим:

Пусть G_­sx­ = G_­sx­ⁱ⁺¹_­­­, , тогда: