Решение типовой задачи

Задача 1. 7 одинаковых шариков случайным образом рассыпаются по 4 лункам (в одну лунку может поместиться любое число шариков). Сколько существует различных способов распределения 7 шариков по 4 лункам? Какова вероятность того, что в результате данного опыта первая лунка окажется пустой (при этом может оказаться пустой и еще какая-либо лунка)?

Решение. Занумеруем лунки и шарики. Можно считать, что опыт состоит в 7-кратном выборе с возвращением номера лунки и записи 7-буквенного слова. При этом каждому порядковому номеру буквы (номер шарика) будет поставлена в соответствие одна из четырех букв алфавита (номер лунки).

Так, например, слово

означает, что в первую лунку попали шары №1, №2 и №4, во вторую лунку – шар №7, в третью – шар №3, в четвертую шары №5 и №6.

Таким образом, число всех способов распределения 7 шариков по 4 лункам равно числу различных 7-буквенных слов из алфавита в 4 буквы, т.е. N (Ω)=4⁷.

Событие А ={первая лунка окажется пустой} соответствует такому выбору, когда символ 1(номер первой лунки) удален из алфавита. Поэтому N (A)=3⁷ и

.

Задачи.

2.44. Бросается 10 одинаковых игральных костей. Вычислить вероятности следующих событий: А = {ни на одной кости не
выпадет 6 очков}, В = {хотя бы на одной кости выпадет 6 очков},
С = {ровно на 3 костях выпадет 6 очков}.

2.45. Опыт состоит в четырехкратном выборе с возвращением одной из букв алфавита Е = { а, б, к, о, м }и выкладывании
слова в порядке поступления букв. Какова вероятность того, что
в результате будет выложено слово мама?

2.46. В подъезде дома установлен замок с кодом. Дверь автоматически отпирается, если в определенной последовательности
набрать три цифры из имеющихся десяти. Некто вошел в подъезд
и, не зная кода, стал наудачу пробовать различные комбинации из
трех цифр. На каждую попытку он тратит 20 секунд. Какова веро­ятность события А = {вошедшему удастся открыть дверь за один
час}?

2.47. Телефонная книга раскрывается наудачу и выбирается
случайный номер телефона. Считая, что телефонные номера состоят из 7 цифр, причем все комбинации цифр равновероятны,
найти вероятности следующих событий: А = {четыре последние
цифры телефонного номера одинаковы}, В = {все цифры различны}.

2.48. (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти вероятности событий: С = {номер начинается с цифры 5}, D = {номер содержит три цифры 5, две цифры 1 и две цифры 2}.

2.49. Шесть человек вошли в лифт на первом этаже семи­этажного дома. Считая, что любой пассажир может с равной веро­ятностью выйти на 2-м, 3-м,..., 7-м этажах, найти вероятности следующих событий: А = {на втором, третьем и четвертом этажах не выйдет ни один из пассажиров}, В = {трое пассажиров вый­дут на седьмом этаже}, С = {на каждом этаже выйдет по одному пассажиру}, D = {все пассажиры выйдут на одном этаже}.

2.50. К четырехстороннему перекрестку с каждой стороны подъехало по одному автомобилю. Каждый автомобиль может с равной вероятностью совершить один из четырех маневров на пе­рекрестке: развернуться и поехать обратно, поехать прямо, налево или направо. Через некоторое время все автомобили покинули пе­рекресток. Найти вероятности следующих событий: А = {все автомобили поедут по одной и той же улице}, В = {по определен­ной улице поедут ровно три автомобиля}, С = {по крайней мере по одной из улиц не поедет ни один автомобиль}.

2.51. Тот же ящик, что и в предыдущей задаче, но каждое изделие
после вынимания вкладывается обратно и перемешивается с други­ми, а его номер записывается. Найти вероятность того, что будет за­
писана естественная последовательность номеров: 1, 2,..., п.

Схема упорядоченных разбиений. Пусть множество Е состоит из n различных элементов. Рассмотрим опыт, состоящий в разбиении множества Е случайным образом на s подмножеств таким образом, что:

1. Множество E_i содержит ровно n_i элементов, i = 1, 2, …, s.

2. Множества E_i упорядочены по количеству элементов n_i.

3. Множества E_i,содержащие одинаковое количество элементов, упорядочиваются произвольным образом. (Это значит, что, например, при n = 7, n₁ = 2, n₂ = 2, n₃ = 3 разбиения

и являются различными исходами данного опыта). Число всех элементарных исходов в данном опыте определяется формулой