Дискретные случайные величины и примеры их законов распределения

Случайную величину Х называют дискретной, если множество ее возможных значений конечно или счетно.

Распределение дискретной случайной величины удобно описывать с помощью ряда распределения.

Рядом распределения (вероятностей) дискретной случайной величиныХ называют таблицу (табл. 5.1), состоящую из двух строк: в верхней строке перечислены все возможные значения случайной величины, а в нижней – вероятности того, что случайная величина примет эти значения.

Х			…		…
Р			…		…

Табл. 5.1

Согласно аксиоме нормированности .

Функция распределения F (x) случайной величины Х есть разрывная ступенчатая функция (рис. 5.1), скачки которой соответствуют возможным значениям случайной величины Х и равны вероятностям этих значений; между скачками функция F (x) сохраняет постоянное значение. В точке разрыва функция F (x) равна тому значению, с которым она подходит к точке разрыва слева (рис. 5.1) эти значения помечены точками). Функция F (x) «непрерывна слева», т.е. при подходе к любой точке слева не терпит разрыва, а при подходе справа может терпеть разрыв.

рис. 5.1

Вероятность попадания случайной величины Х на участок от до (включая ) выражается через функцию распределения формулой

или в других обозначениях,

где знаком [ обозначено то, что точка включается в состав отрезка от до , а знаком) – что точка в него не включается.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее возможных значений на соответствующие вероятности :

Математическое ожидание случайной величины может и не существовать, если соответствующая сумма расходится. В случае, когда надо математическое ожидание случайной величины Х обозначить одной буквой, будем писать

Центрированной случайной величиной называется разность между случайной величиной Х и ее математическим ожиданием:

Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной случайной величины:

Для дискретной случайной величины Х дисперсия вычисляется по формуле

В случае, когда надо дисперсию случайной величины Х обозначить одной буквой, мы будем обозначать ее .

Средним квадратическим отклонением (или стандартом) случайной величины Х называется корень квадратный из ее дисперсии:

(подразумевается арифметическое или положительное значение корня).

Начальным моментом k -го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k -ой степени этой случайной величины:

Для дискретной случайной величины Х начальный момент может вычисляться по формуле

Центральным моментом k -го порядка случайной величины называется математическое ожидание k -ой степени соответствующей центрированной величины:

Для дискретной случайной величины Х центральный момент может вычисляться по формуле

Математическое ожидание случайной величины Х есть ее первый начальный момент, а дисперсия – второй центральный:

Центральные моменты выражаются через начальные моменты

Особенно важна первая из трех формул, выражающая дисперсию через второй начальный момент

или в другом написании

т.е. дисперсия равна математическому ожиданию квадрата случайной величины минус квадрат ее математического ожидания.

Индикатором события А называется дискретная случайная величина U, имеющая два возможных значения: 0 и 1, равная 0 если событие А не появилось, и единице, если появилось:

Ряд распределения индикатора U события А имеет вид


q	p

где p – вероятность события в данном опыте; q = 1 – p.

Математическое ожидание и дисперсия величины U равны соответственно

В ряде задач теории вероятностей пользование индикаторами событий существенно упрощает решение.

При вычислении числовых характеристик случайных величин часто бывает удобно пользоваться формулой полного математического ожидания: если об условиях опыта можно сделать п несовместных гипотез , полное математическое ожидание случайной величины Х может быть вычислено по формуле

(*)

где - условное математическое ожидание величины Х при гипотезе .

Формулу полного математического ожидания можно применять при вычислении начальных моментов любого порядка:

Пользоваться этой формулой в принципе можно и при вычислении центральных моментов любого порядка:

но не забывать при этом, что величина в последней формуле должна вычисляться как , где - безусловное математическое ожидание случайной величины Х, выражаемое формулой (*), а не условное при гипотезе .

Примеры законов распределения дискретных случайных величин:

1. Биномиальное распределение. Случайная величина Х называется распределенной по биномиальному закону, если ее возможные значения 0,1,…, m,… n, а соответствующие вероятности

, (5.1.1)

где 0 < p < 1, q =1 – p; m = 0, 1, …, n. Распределение (5.1.1) зависит от двух параметров: p и n.

Для случайной величины Х, имеющей биномиальное распределение с параметрами p и n

, (5.1.2)

где q =1 – p.

2. Распределение Пуассона. Дискретная случайная величина Х называется распределенной по закону Пуассона, если ее возможные значения 0,1,…, m,…, а вероятность события { X = m } выражается формулой

(m = 0, 1, 2, …), (5.1.3)

где a > 0. Распределение Пуассона зависит от одного параметра а. Для случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона,

. (5.1.4)

Пуассоновское распределение является предельным для биномиального при , если . Этим распределением можно пользоваться приближенно, если производится большое число независимых опытов, в каждом из которых событие А происходит с малой вероятностью.

Пуассоновскому закону распределения подчиняется также количество точек, попадающих в заданную область пространства (одномерного, двумерного или трехмерного), если случайное расположение точек в этом пространстве удовлетворяет некоторым ограничениям.

Одномерный вариант встречается при рассмотрении «потоков событий». Потоком событий называют последовательность однородных событий, наступающих одно за другим в случайные моменты времени.

Среднее число событий , приходящихся на единицу времени, называется интенсивностью потока. Величина может быть как постоянной, так и переменной .

Поток событий называется потоком без последействия, если вероятность попадания того или иного числа событий на какой-то участок времени не зависит от того, сколько событий попало на любой другой непересекающийся с ним участок.

Поток событий называют ординарным, если вероятность появления на элементарном участке двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью появления одного события.

Ординарный поток событий без последействия называется пуассоновским. Если события образуют пуассоновский поток, то число Х событий, попадающих на любой участок времени , распределено по закону Пуассона:

(5.1.5)

где а – математическое ожидание числа точек, попадающих на участок;

- интенсивность потока.

Если , пуассоновский поток называется стационарным пуассоновским или простейшим. Для простейшего потока число событий, попадающих на любой участок времени длины распределено по закону Пуассона с параметром .

Случайным полем точе к называется совокупность точек, случайным образом разбросанных на плоскости (или в пространстве).

Поле точек называется пуассоновским, если оно обладает свойствами:

1) вероятность попадания того или иного числа точек в любую область плоскости (пространства) не зависит от того сколько их попало в любую область, не пересекающуюся с данной;

2) вероятность попадания в элементарную область двух или более точек пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одной точки (свойство ординарности).

Число Х точек пуассоновского поля, попавших в любую область S плоскости (пространства) распределено по закону Пуассона:

, (5.1.6)

где а – математическое ожидание числа точек, попадающих в область S. Если интенсивность поля , поле называется однородным (свойство аналогичное стационарности потока событий). При однородном поле с интенсивностью имеем , где s – площадь (объем) области S. Если поле неоднородно, то (для плоскости); (для пространства).

Для вычислений, связанных с распределением Пуассона, удобно пользоваться таблицами функции и . Последняя функция выражает вероятность того, что случайная величина Х, имеющая распределение Пуассона с параметром а, примет значение, не превосходящее m:

3. Геометрическое распределение. Говорят, что случайная величина Х имеет геометрическое распределение, если ее возможные значения 0,1,…, m,…, а вероятности этих значений

, (5.1.7)

где .

Вероятности для ряда последовательных значений m образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем q. На практике геометрическое распределение встречается, когда производится ряд независимых «попыток» достигнуть какого-то результата А; при каждой «попытке» результат достигается с вероятностью p. Случайная величина Х – число «бесполезных» попыток (до первого опыта, в котором появится событие А).

Ряд распределения случайной величины Х имеет вид

Математическое ожидание случайной величины Х, имеющей геометрическое распределение, равно

(5.1.8)

а ее дисперсия

(5.1.9)

Нередко рассматривают случайную величину Y = X + 1, равную числу попыток до получения результата А, включая удавшуюся. Распределение случайной величины Y имеет вид

(5.1.10)

(5.1.11)

Распределение случайной величины Y = X + 1 будем называть в дальнейшем «геометрическим распределением, начинающемся с единицы».

4. Гипергеометрическое распределение. Случайная величина Х с возможными значениями 0,1,…, m,…, а имеет гипергеометрическое распределение с параметрами n, a, b, если

(5.1.12)

При использовании этой формулы надо полагать, , если r > k.

Гипергеометрическое распределение возникает при следующих условиях: имеется урна, в которой а белых и b черных шаров; из нее вынимается n шаров. Случайная величина Х – число белых шаров среди вынутых; ее распределение выражается формулой (5.1.12).

Математическое ожидание случайной величины, имеющей распределение (5.1.12), равно

(5.1.13)