Арифметические действия в формате с плавающей запятой и правила их выполнения

Сложения и вычитания чисел с плавающей запятой

1. Производится выравнивание порядков чисел. Порядок меньшею (по модулю) числа принимается равным порядку большего числа, а мантисса меньшего числа сдви­гается вправо на число S-ичных разрядов, равное разности порядков чисел.

2. Производится сложение (вычитание) мантисс, в ре­зультате чего получается мантисса суммы (разности).

3. Порядок результата принимается равным порядку большего числа.

4. Полученная сумма (разность) нормализуется.

Умножение чисел с плавающей запятой

Определение знака произведения путем сложения по модулю два знаковых цифр мантисс сомножителей.

Перемножение модулей мантисс сомножителей по правилам для дробных чисел с фиксированной запятой.

Определение порядка произведения путем алгебраического сложения порядков сомножителей с использованием либо дополнительного, либо обратного модифицированного кода.

Нормализация результата и округление мантиссы в случае необходимости. Поскольку сомножители обязательно являются нормализованными числами, то де нормализация произведения возможна только на разряд и только вправо.

Деление по такому же принципу

 

5.1.понятие системы счисления.

системы счисления-это совокупность приёмов и правил наименования и обозначения чисел,позволяющих установить взаимодействие назначенных соответствий между числом и его представлением в виде конечного числа символа.

Алфавит, число, цифра.

в любой системе счисления выбирается алфавит,представляющий собой совокупность некоторых символов,с помощью которых можно представить любое количество.изображение этого количества называется числом,а символ алфавита-цифрой.

Наиболее известные системы счисления.

десятичная,в 12веке перенесена арабами в Европу);-двенадцатиричная(родилась на Древнем Востоке);двоичная.

Непозиционные системы счисления, примеры.

Непозиционные системы счисления - алфавит которых содержит неограниченное количество символов, причем количественный эквивалент любой цифры постоянен, и зависит только от ее начертания.Позиция цифр в числе значения не имеет.

Непозиционные системы строятся по принципу аддитивности (англ.Add - сумма) - количественный эквивалент числа определяется как сумма цифр.примеры:-алфавитная система записи чисел(каждой цифре ставится в соответствии буква алфавита);-римская система записи чисел(XXVIII=28; ХХХ1Х=39; CCCXCVII=397; MDCCCXVIII=1818).

Выполнение арифметических действий над многозначными числами в этой записи очень трудно. Тем не менее римская нумерация преобладала в Италии до 13 века, а в других странах Западной Европы - до 16 века.

Существенные недостатки непозиционных систем счисления.

существенно поставленная потребность введения новых знаков для записи больших чисел;-невозможно представлять дробные и отрицательные числа;-сложно выполнять арифметические операции,так как не существует алгорифмов их выполнения.6)позиционная система счисления-значение цифры определяется её местоположением(позицией).ПСС:-простота выполнения арифметических операций;-ограниченное количество символов(цифр)необходимых для записи числа.

Позиционные СС.

В позиционных системах счисления один и тот же числовойзнак (цифра) в записи числа имеет различные значения в зависимости от того места (разряда), где он расположен. К числу таких систем относится современная десятичная система счисления, возникновение которой связано со счётом на пальцах. В средневековой Европе она появилась через итальянских купцов, в свою очередь заимствовавших её у мусульман.

Под позиционной системой счисления обычно понимается b -ричная система счисления, которая определяется целым числом b > 1, называемым основанием системы счисления. Целое число x в b -ричной системе счисления представляется в виде конечной линейной комбинации степеней числа b:

, где a_k — это целые числа, называемые цифрами, удовлетворяющие неравенству .

Каждая степень b^k в такой записи называется весовым коэффициентом разряда. Старшинство разрядов и соответствующих им цифр определяется значением показателя k (номером разряда). Обычно для ненулевого числа x требуют, чтобы старшая цифра a_{n − 1} в b -ричном представлении x была также ненулевой.

Если не возникает разночтений (например, когда все цифры представляются в виде уникальных письменных знаков), число x записывают в виде последовательности его b -ричных цифр, перечисляемых по убыванию старшинства разрядов слева направо:

Например, число сто три представляется в десятичной системе счисления в виде:

Наиболее употребляемыми в настоящее время позиционными системами являются:

1 — единичная (как позиционная может и не рассматриваться; счёт на пальцах, зарубки, узелки «на память» и др.);

2 — двоичная (в дискретной математике, информатике, программировании);

3 — троичная;

4 — четверичная;

10 — десятичная (используется повсеместно);

12 — двенадцатеричная (счёт дюжинами);

16 — шестнадцатеричная (используется в программировании, информатике, а также в шрифтах^{[ источник не указан 69 дней ]});

60 — шестидесятеричная (единицы измерения времени, измерение углов и, в частности, координат, долготы и широты).

Обобщением b -ричных систем счисления являются комбинированные системы счисления, в которых может использоваться несколько оснований.