Основи гідродинамічної теорії подібності

На практиці часто зустрічаються умови, коли застосування диференціальних рівнянь, що описують той чи інший рух рідини, недостатньо для кількісної його оцінки. Пояснюється це складністю диференціальних рівнянь і відсутністю даних для її визначення. Тому для дослідження і розрахунків різних гідравлічних процесів, систем і споруджень користуються даними дослідів, одержаних на моделях. При проведенні таких експериментів встановлюють функціональну залежність між різними фізичними величинами, що впливають на явище, що досліджується.

Правильна організація експериментів, аналіз і узагальнення їх результатів можуть бути надійними лише у тому випадку, коли між реальними умовами і умовами на моделі існують певні залежності, що спираються на теоретичні закони. Такими законами є закони динамічної подібності, що пов’язано з теорією розмірностей.

Закони подібності показують, які величини необхідно вимірювати при проведенні експериментів, як необхідно обробляти дані, що отриманні при дослідженні і які умови необхідні і достатні для існування подібності двох систем.

Динамічно подібні потоки динамічно копіюють один одного. Динамічна подібність передбачає наявність геометричної, кінематичної та матеріальної подібності систем натури і моделі.

Геометрична подібність припускає пропорційність всіх схожих розмірів потоку натури і моделі, а також рівність кутів у схожих точках. Тобто

; ; (181)

де – константа геометричної подібності;

– константа подібності площ;

– константа подібності об’ємів;

, – відповідно схожі лінійні розміри на моделі і натурі.

Схожими точками у геометрично подібних системах називаються точки, які однаково розташовані до границь цих систем і відношення яких рівні константам геометричної подібності , тобто:

; ; . (182)

Кінематична подібність вимагає щоб траєкторії, що описуються схожими частинками потоку натури і моделі за будь-які схожі відрізки часу були подібні. З цих умов виходить пропорційність швидкостей і прискорень і, відповідно, постійність відношення відрізків часу, за які частинки рідини, що знаходяться у схожих точках потоків натури і моделі, переміщаються, проходячи схожі елементи траєкторій. Схожими моментами часу і є моменти часу, які відносяться до подібних систем, що мають загальній початок відліку і які задовольняють залежності

(183)

– константа кінематичної подібності.

Вона дійсна для будь-якої пари схожих точок і схожих ділянок шляху в будь-який час.

Матеріальна подібність двох потоків вимагає взаємної відповідності між масою матеріальних частинок потоків натури і моделі. При цьому повинна існувати залежність:

(184)

де – відношення середньої густини моделі до відповідної величини натури.

Наявність геометричного, кінематичного і матеріального подібностей двох систем (потоків) забезпечує їх повну динамічну подібність.

Ньютон запропонував розглядати динамічну подібність, виходячи з умови, що сили, діючі у схожих точках динамічно подібних систем, у схожі моменти часу відносяться один до одного як

 

(185)

Звідки виходить, що

,

або

. (186)

Останній вираз, отриманий з тотожних перетворень залежності (5) дійсної для динамічно подібних систем (потоків). Тобто, безрозмірна величина може бути критерієм динамічної подібності.

З рівняння (6) видно, що ці критерії подібності для динамічно подібних систем повинні бути однаковими. Цей критерій носить ім’я Ньютона і позначається

(187)

Критерій Ньютона є загальний критерій динамічної подібності.

Для повної гідродинамічної подібності необхідна подібність всіх сил, діючих в системі. Але практично ці умови рідко виконуються, так як кожен з критеріїв сил вимагає певні умови подібності, які виявляються несумісними. Тому необхідно забезпечити подібність тих сил, які найбільш істотні для систем, що розглядаються.

В гідравліці в основному розглядаються три вида сил: сила ваги, сила тиску і сила тертя.

Розглянемо випадок, коли в системі визначною є сила ваги.

, де

M – маса системи,

g – прискорення земного тяжіння

Для отримання умов подібності підставимо в формулу замість загальної сили Y силу ваги G.

Тоді: , (188)

звідки: (189)

Безрозмірна величина характеризує подібність сил ваги і називається критерієм Фруда.

(190)

Рівність критеріїв Фруда () в схожих точках потоку, що задовольняють геометричну, кінематичну і матеріальну подібності, забезпечують подібність сил ваги.

Для одержання умов подібності систем, визначальними силами в яких є сили тиску необхідно підставити в формулу замість Y вираз P = р·F. Тоді отримаємо

(191)

Маючи на увазі, що M=ρV і що у геометрично подібних системах , знайдемо:

(192)

Безрозмірна величина є критерієм подібності тільки сил тиску і називається критерієм Ейлера.

(193)

Рівність критеріїв Ейлера “ ” у схожих точках потоків, що задовольняють геометричну, кінематичну і матеріальну подібності, забезпечують подібність сил тиску.

Досить часто в критерій Ейлера вводиться замість тиску () різницю тисків ( ) у двох точках, тоді

(194)

У гідродинаміці реальної рідини найбільш часто характер руху визначає сила внутрішнього тертя між частинками рідини. Для одержання умов подібності сил тертя підставимо у критерій замість загальної сили Y силу внутрішнього тертя

. (195)

Тоді вираз для критерію має вигляд

(196)

Враховуючи, що F l ², dr – лінійна величина (dr l), і що в даному випадку du і dr можна розглядати як кінцеві величини u і l залежність критерію буде мати вигляд

(197)

Звідки:

(198)

Обернена безрозмірна величина є критерій подібності сил тертя і називається критерієм Рейнольдса

(199)

Для потоків в циліндричній трубі діаметром (d) замість (l) вводиться характерний розмір „ d ”. Тоді

, (200)

або

. (201)

так як , де v – кінематичний коефіцієнт в’язкості.

Рівність критеріїв у схожих точках потоків, що задовольняють геометричну, кінематичну і матеріальну подібності, забезпечують подібність сил внутрішнього тертя.

На практиці розглянуті вище критерії подібності записуються найчастіше через середню швидкість потоку:

; ; . (202)

 

 

Питання для самоперевірки знань.

1. Поняття рідини. Реальна та ідеальна (уявна) рідини. Краплинна і газоподібна рідини.

2. Поняття частинки рідини.

3. Спільна властивість рідин (краплинної і газів), яка різко відрізняє їх від твердих тіл.

4. В’язкість рідини. Одиниці вимірювання в’язкості.

5. Сформулюйте закон Ньютона про внутрішнє тертя в рідині.

6. Чому тиск на рідину не впливає на силу тертя між її частинками?

7. Густина краплинної рідини і газоподібної.

8. З якою метою введено поняття Ейлеревої моделі рідини? Дайте приклад.

9. Ньютонівські і не ньютонівські рідини.

10. Стисливість рідин. Чим вона характеризується?

11. Що є мірою стисливості рідин і газів?

12.Яка властивість рідин і газів характеризується числом Маха?

13. При яких швидкостях руху газів можна їх розглядати як нестисливу рідину.

14. Яким чином визначається належність рідин до ньютонівської чи неньютонівської?

15.Під дією яких сил рідини знаходяться в стані спокою або рухаються?

16. Які сили відносяться до зовнішніх сил, що діють на рідину?

17. Що таке гідростатичний тиск?

18. Властивості гідростатичного тиску.

19. Які складові входять в зведене рівняння системи диференціальних рівнянь Ейлера?

20. Для яких умов виводиться і застосовується основне рівняння гідростатики.

21. В чому полягає геометричний зміст основного рівняння гідростатики?

22. Рідинні прилади для вимірювання тиску (п’єзметр, ртутний манометр).

23. Рідинний прилад для вимірювання перепаду тисків. Рівняння рівноваги.

24. Рідинний прилад для вимірювання вакууму. Рівняння рівноваги.

25.Мікрометри. Рівняння рівноваги.

26. Форма вільної поверхні рідини в посудині, що знаходиться в стані абсолютного спокою.

27. Форма вільної поверхні рідини в циліндричній місткості, що обертається навколо вертикальної осі зі сталою кутовою швидкістю.

28. Форма вільної поверхні рідини в посудині, що рухається прямолінійно в горизонтальній площині зі сталим прискоренням.

29. На якій відстані від вільної поверхні рідини на вертикальній проекції стінки знаходиться центр тиску?

30. Яка відстань між центром ваги і центром тиску на плоскій вертикальній стінці, що занурена в рідину?

31. Як знаходиться центр тиску на криволінійній стінці, що занурена у рідину.

32. В чому полягає гідростатичний парадокс?

33. Закон розподілу тиску при політропному стані газу.

34. Закон розподілу температури при політропному стані газу.

35. На яку величину (в градусах Цельсія) зменшується температура повітря за направленням знизу вверх через кожні 100м за висотою (політропному стані повітря).

36. Місцева і миттєва швидкості. Класифікація рухів рідини.

37. Лінія течії і її властивості.

38. Поверхня трубки течії і її властивості.

39. Живий переріз в потоці рідини.

40. Зміна швидкості в живому (поперечному) перерізі елементарної струминки.

41. Потік рідини. Середня швидкість в поперечних перерізах потоку.

42. Витрата рідини потоку.

43. Закон нерозривності потоку рідини.

44. В чому полягає принцип Д’аламбера щодо рухомої частинки рідини.

45. Під дією яких сил знаходиться рухома частинка рідини.

46. В чому полягає геометричний зміст рівняння Бернуллі для ідеальної і реальної рідин?

47. Закон розподілу гідродинамічного тиску в перерізах на ділянках з плавнозмінним рухом.

48. Що собою представляє коефіцієнт Коріоліса?

49. Правила застосування рівняння Бернуллі.

50. Рівняння для визначення дотичних напруг (τ) на будь-якому радіусі в циліндричній трубі.

51. Поняття динамічної швидкості.

52. Верхнє і нижнє критичні числа Рейнольдса при ламінарному русі рідини.

53.Епюра розподілу швидкості в поперечному перерізі при ламінарному режимі руху в циліндричній трубі.

54. Співвідношення між середньою і максимальною швидкостями при ламінарному русі рідини в циліндричному трубопроводі.

55. Поняття про довжину формуючої ділянки в циліндричній трубі при ламінарному русі.

56. Структура потоку при турбулентному русі рідини в циліндричній трубі.

57. Як змінюється товщина пристінного шару при зміні швидкості руху рідини?

58. Що представляє собою вектор осередненої швидкості в даній точці при турбулентному режимі руху рідини?

59. Закон розподілу швидкості в ядрі турбулентного потоку і в пристінному шарі.

60. Яка залежність коефіцієнта опору тертя по довжині труби при ламінарному режимі руху рідини.

61. Як називаються зони гідравлічного опору при турбулентному русі рідини? Як змінюється товщина пристінного шару при зміні швидкості руху рідини?

62. Як визначається зона гідравлічно-гладких труб? Яка функціональна залежність λ в цій зоні?

63. Як визначається зона гідравлічно-шорстких труб? Яка функціональна залежність λ в цій зоні?

64. Чому зона гідравлічно-шорстких труб називається квадратичною зоною гідравлічних опорів?

65. Як визначається перехідна зона (від гідравлічно-гладких до гідравлічно-шорстких труб? Яка функціональна залежність λ в цій зоні? Чому вона називається доквадратичною?

66. За якими формулами визначаються втрати напору при проходженні рідини через місцеві опори?

67. Яка різниця між дійсною і еквівалентною шорсткістю?

68. Як визначається коефіцієнт гідравлічного опору системи трубопроводу?

69. Загальна класифікація трубопроводів.

70. Формула Шезі для визначення швидкості руху рідини в каналі, трубопроводі.

71. Від яких параметрів залежить стала Шезі (С)? Чому вона стала величина?

72. Що таке витратомірна характеристика трубопроводу (К)?

73. В чому полягає гідравлічний розрахунок простого (довгого) трубопроводу?

74. Визначення витрати рідини при протіканні її через короткий трубопровід.

75. Що називається сифонним трубопроводом? Характерні особливості його гідравлічного розрахунку.

76. Особливості гідравлічного розрахунку при шляховій витраті рідини в трубопроводі.

77. Особливості гідравлічного розрахунку при змішаній витраті, що протікає через трубопровід.

78. Яким чином вибирається економічно вигідна швидкість руху рідини в трубопроводі?

79. Що таке гідравлічний радіус? З якою метою вводиться це поняття?

80. Що таке еквівалентний діаметр трубопроводу? З якою метою вводиться це поняття?

81. Що називається еквівалентною довжиною трубопроводу?

82. Що лежить в основі гідравлічного розрахунку складних трубопроводів?

83. Принцип гідравлічного розрахунку тупикового трубопроводу.

84. Принцип гідравлічного розрахунку паралельно-розгалуженого трубопроводу.

85. Гідравлічний удар. Прямий і непрямий. Що лежить в основі залежності для визначення величини ударного тиску?

86. Запишіть рівняння Бернуллі для ізоентропічного процесу зміни стану нев’язкого газу і порівняйте його з рівнянням Бернуллі для нестисливої рідини вздовж елементарних струминок.

87. Покажіть, що зміна швидкості, вздовж струминки стисливого газу пов'язана зі зміною температури.

88. Запишіть рівняння Бернуллі для двох перерізів потоку реального газу для політропічного процесу.

89. Покажіть, що вплив стисливості рідини (газу) проявляється з наближенням швидкості течії до швидкості звуку.

90. Витікання рідини через малі отвори в тонкій стінці при сталому напорі. Визначення коефіцієнтів витікання.

91. Витікання рідини через великі отвори в тонкій стінці при сталому напорі.

92. Витікання рідини через отвори під рівень рідини.

93. Витікання рідини через насадки при сталому напорі. Визначення коефіцієнтів витікання.

94. Що таке “межовий напір” при витіканні рідини через насадки?

95. Чому при одних і тих же самих умовах витікання рідини через отвори і насадки, витрата рідини через насадки більша.

96. Витікання газів через отвори і насадки.

97. Основний критерій гідродинамічної подібності.

98. Попередні умови для існування критеріїв гідродинамічної подібності.

99. Якому критерію гідродинамічної подібності відповідає подібність сил тертя?

100. Якому критерію гідродинамічної подібності відповідає подібність сил тиску?

101. Якому критерію гідродинамічної подібності відповідає подібність сил ваги?