Деление отрезка в данном отношении

Пусть на плоскости с системой координат Oxy даны две точки и . Найдём координаты x, y точки А, делящий отрезок в отношении от точки к точке .

Пусть отрезок не параллелен оси y. Спроектируем точки на ось x. ₂

А₁

B₁(x₁) B(x) B₂(x₂)

Имеем: . Так как проекции имеют те же абсциссы, что и точки , то , , где абсолютная величина нужна, т.к. отрезок может быть расположен иначе.

Следовательно, . Поскольку точка B лежит между , то разности одного знака, поэтому . Отсюда находим

Если отрезок вертикален, то . Что даст формула (1)?

Таким образом, формула (1) справедлива при любом расположении отрезка.

Ордината точки А находится аналогично:

Если А - середина отрезка , т.е. λ=1, то формулы (1), (2) дают

Замечание: в формулах (1), (2) отношение положительно, т.е. .

Имеют смысл два особых случая:

Упражнение 1. Говорят, что точка А делит внешним образом отрезок в отношении , если эта точка лежит на прямой, соединяющей точки , вне отрезка , и отношение расстояний её от точек равно Показать, что координаты точки А через координаты точек выражаются по формулам:

которые совпадают с формулами (1), (2) при отрицательном отношении λ= . Значит, формулы (1), (2) имеют смысл и при отрицательном λ (λ ), т.е. при λ Выяснить, чем отличаются случаи λ и