Вопросы и задания для промежуточного и итогового контроля

Вопросы и задания для промежуточного контроля

 

В течение каждого из семестров проводятся письменные опросы по теоретическому материалу, включающие в себя следующие вопросы:

Первый семестр

1. Коллинеарные векторы

2. Сонаправленные векторы

3. Равные векторы

4. Свободный вектор

5. Проекция вектора

6. Сумма двух векторов

7. Произведение вектора на число

8. Признак коллинеарности векторов

9. Признак компланарности векторов

10. Аффинный базис

11. Декартов базис

12. Координаты вектора в базисе

13. Скалярное произведение векторов, его свойства и выражение в декартовом базисе

14. Векторное произведение векторов, его свойства и выражение в декартовом базисе

15. Смешанное произведение векторов, его выражение в декартовом базисе

16. Аффинная система координат на плоскости и в пространстве

17. Прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве

18. Формула расстояния между двумя точками на плоскости и в пространстве

19. Уравнения окружности и сферы

20. Формула деления отрезка в данном отношении

21. Полярная система координат на плоскости

22. Полярная система координат в пространстве

23. Формулы перехода от одной аффинной системы координат к другой

24. Формулы перехода от одной прямоугольной системы координат к другой

25. Ориентация пространства (плоскости)

26. Углы Эйлера

27. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

28. Общее уравнение прямой

29. Векторное уравнение прямой

30. Параметрическое уравнение прямой

31. Уравнение прямой по двум точкам

32. Нормальное уравнение прямой

33. Формула расстояния от точки до прямой на плоскости

34. Формула угла между прямыми на плоскости

Второй семестр

1. Канонические уравнения прямой в пространстве

2. Общее уравнение плоскости в пространстве

3. Параметрические уравнения плоскости

4. Уравнение плоскости по точке и двум векторам

5. Уравнение плоскости по трем точкам

6. Нормальное уравнение плоскости

7. Случаи взаимного расположения двух плоскостей

8. Задание прямой как линии пересечения двух плоскостей

9. Уравнение пучка плоскостей

10. Случаи взаимного расположения двух прямых в пространстве

11. Расстояние от точки до плоскости

12. Угол между прямой и плоскостью

13. Угол между двумя плоскостями

14. Определение поверхности второго порядка

15. Распадающаяся поверхность (определение и критерий)

16. Цилиндрическая поверхность

17. Коническая поверхность

18. Эллипсоид

19. Однополостный гиперболоид

20. Двуполостный гиперболоид

21. Эллиптический параболоид

22. Гиперболический параболоид

23. Асимптотическое направление поверхности второго порядка

24. Конус асимптотических направлений

25. Прямолинейная образующая

26. Центр поверхности второго порядка

27. Диаметральная плоскость

28. Главные направления поверхности второго порядка

 

Вопросы для итогового контроля (экзамен)

В качестве итогового контроля в каждом семестре запланировано проведение экзамена.

 

Первый семестр

Вопросы к экзамену

1. Параллельный перенос системы координат, расстояние между точками на плоскости.
2. Деление отрезка на плоскости в данном отношении. Координаты точки отрезка как функции параметра.
3. Неявные уравнения кривых. Две задачи в геометрии кривых. Геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению .
4. Каноническое уравнение гиперболы как геометрического места точек.
5. Параметрические уравнения кривой на плоскости. Окружность.
6. Общее уравнение прямой линии на плоскости.
7. Расположение прямой линии на плоскости. Уравнение прямой в отрезках.
8. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых.
9. Расстояние от точки до прямой на плоскости.
10. Уравнение прямой на плоскости, проходящей через: 1)данную точку; 2) две точки; 3)данную точку параллельно данной прямой.
11. Уравнение прямой на плоскости, проходящей через: 1)данную точку; 2) данную точку перпендикулярно данной прямой; 3) данную точку под заданным углом к оси абсцисс.
12. Поворот системы координат. Алгоритм нахождения канонического уравнения кривой.
13. Полярные координаты. Уравнение кривой в полярных координатах. Уравнение проходящей через полюс окружности. Связь с декартовыми координатами.
14. Уравнение прямой линии в полярных координатах.
15. Свойство конических сечений. Эксцентриситет. Расположение сечения в зависимости от эксцентриситета.
16. Уравнения конических сечений в полярных координатах. Изменение формы сечения в зависимости от эксцентриситета.
17. Переход от полярных к каноническим уравнениям эллипса и гиперболы.
18. Переход от полярного уравнения параболы к каноническому уравнению.
19. Форма параболы. Форма эллипса.
20. Форма гиперболы. Асимптоты гиперболы.
21. Оптические свойства конических сечений.
22. Касательные к графикам явной и обратной функций. Касательная к параболе.
23. Касательные к эллипсу и гиперболе.
24. Определение диаметров параболы. Середины ее параллельных хорд.
25. Фокальные свойства эллипса и гиперболы. Координаты фокусов эллипса.
26. Координаты фокусов гиперболы.
27. Определение диаметров эллипса и гиперболы. Середины их параллельных хорд. Сопряженные диаметры.
28. Сопряженность направления касательной к коническому сечению направлению диаметра, проходящего через точку касания.
29. Графические правила сложения и вычитания векторов.
30. Графическое правило умножения вектора на число. Линейная зависимость векторов.
31. Кривая второго порядка Уничтожение в уравнении кривой слагаемого с произведением переменных. Формулировка теоремы о геометрическом месте точек.
32. Преобразование уравнения кривой второго порядка с квадратами переменных.
33. Преобразование уравнения кривой второго порядка с квадратом лишь одной переменной.
34. Скалярное произведение векторов. Проекция вектора на ось. Дистрибутивность.
35. Векторное произведение векторов. Проекция вектора на плоскость. Дистрибутивность.
36. Смешанное произведение без использования координат.
37. Аффинные координаты вектора. Сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число в компонентах.
38. Ортонормированный базис. Геометрический смысл декартовых координат вектора. Скалярное произведение векторов в координатах.
39. Векторное и смешанное произведение в координатах.

 

Второй семестр

Вопросы к экзамену

1. Аффинные и декартовы координаты точки в пространстве. Деление пространственного отрезка в данном отношении.
2. Расстояние между двумя точками в пространстве. Площадь пространственного треугольника. Объем тетраэдра.
3. Уравнение поверхности в пространстве. Круговой цилиндр.
4. Уравнения кривой в пространстве. Окружность в пространстве.
5. Преобразование аффинных координат в пространстве.
6. Преобразование декартовых координат в пространстве.
7. Уравнение плоскости в пространстве.
8. Расположение плоскости в пространстве.
9. Расстояние от точки до плоскости в пространстве.
10. Нормальное уравнение плоскости.
11. Взаимное расположение двух плоскостей.
12. Взаимное расположение трех плоскостей.
13. Уравнения прямой как линии пересечения двух плоскостей. Канонические уравнения прямой.
14. Параметрические уравнения прямой линии. Расположение прямой в пространстве.
15. Взаимное положение прямой и плоскости.
16. Взаимное положение двух прямых. Угол между прямыми.
17. Связка плоскостей. Связка прямых. Уравнение прямой, проходящей через две точки.
18. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости. Уравнения прямой, проходящей через точку параллельно прямой.
19. Прямая, проходящая через точку перпендикулярно плоскости. Плоскость, проходящая через точку перпендикулярно прямой. Плоскость, проходящая через точку параллельно двум прямым.
20. Эллипсоид и его свойства.
21. Однополостный гиперболоид и его свойства.
22. Двуполостный гиперболоид и его свойства.
23. Гиперболический параболоид и его свойства.
24. Эллиптический параболоид и его свойства.
25. Конусы и цилиндры.