Упругие и квазиупругие силы

Вопросы 3 семестр обучения

1. Гармонические колебания. Упругие и квазиупругие силы. Собственные колебания. Сложение гармонических колебаний.

Колебаниями называются процессы, характеризующиеся той или иной степенью повторяемости. Таким свойством повторяемости обладают, например, качания маятника, колебания струны, напряжение между обкладками конденсатора в колебательном контуре и т. д.

Гармонические колебания – это такие колебания, при которых колеблющаяся величина x изменяется со временем по закону синуса либо косинуса:

x(t) = A × cos(wt + a), (1.1)

или x(t) = A ×Sin(wt + a), (1.1а)

где x(t) – отклонение или смещение колеблющейся величины от положения равновесия;

A – амплитуда, т. е. наибольшее отклонение от положения равновесия (амплитуда всегда положительна);

(wt + a) – фаза колебания – это аргумент периодической функции, определяющей смещение;

a – начальная фаза, т. е. значение фазы в начальный момент времени (при t = 0);

w – круговая, или циклическая частота.

УПРУГИЕ И КВАЗИУПРУГИЕ СИЛЫ

Выясним, какие силы вызывают гармонические колебания. Рассмотрим пружинный маятник массы m, совершающий колебания вдоль оси.

Следовательно, сила, вызывающая гармонические колебания, пропорциональна смещению колеблющегося тела от положения равновесия и направлена против смещения. Такому условию удовлетворяют упругие силы

Гармонические колебания могут быть вызваны также силами, которые не являются упругими по своей природе, но подобны упругим по характеру зависимости от координат. Такие силы называют квазиупругими

Любые силы будут квазиупругими, если отклонение от положенияравновесия мало. Например, колебания с небольшой амплитудой груза на нити или пружине, вагона на рельсах, фундамента здания и т. д.

Вывод. Если колебания гармонические, то они совершаются под действием упругой или квазиупругой силы.

Собственными (свободными) колебаниями называются колебания, которые происходят в системе в отсутствие переменных внешних воздействий и возникают вследствие начального отклонения одного из параметров системы от состояния равновесия. В реальных макроскопических системах из-за потери энергии свободные колебания всегда затухают.

При малых отклонениях от состояния равновесия движения системы удовлетворяют принципу суперпозиции, согласно которому сумма двух произвольных движений также составляет допустимое движение системы; такие движения описываются линейными (в частности, дифференциальными) уравнениями. Если система ещё и консервативна (в ней нет потерь или притока энергии извне), а ее параметры не изменяются во времени, то любое собственное колебание может быть однозначно представлено как сумма нормальных колебаний синусоидально неменяющихся во времени с определенными собственными частотами.
Если положение системы в любое время может быть описано единственным параметром, то система имеет одну степень свободы. Примеры таких систем: маятник, колеблющийся в заданной плоскости, масса, связанная с пружиной, LC-цепочка (рис.1). Действительно, положение маятника может быть определено углом отклонения нити маятника от вертикали φ. Для LC-цепочки таким параметром может служить величина заряда на емкости. (Маятник, способный колебаться в любом направлении подобно гире, подвешенной на нити, имеет две степени свободы; нужны две координаты, чтобы задать его положение. Маятник в стенных часах закреплен так, что может качаться только в определенной плоскости и поэтому имеет одну степень свободы).