Свободные гармонические колебания в идеальном колебательном контуре

Гармонические колебания — колебания, при которых физическая величина изменяется с течением времени по гармоническому (синусоидальному, косинусоидальному) закону.

Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью L и конденсатора емкостью C. В идеальном колебательном контуре активное сопротивление R = 0.

Колебательный контур – колебательная система. В контуре происходят периодические изменения энергии электрического поля конденсатора и магнитного поля тока катушки.

контур идеальный, т.е. сопротивление R=0, то свободные электромагнитные колебания в контуре являются гармоническими.

ч в идеальном колебательном контуре колебания тока I опережают по фазе колебания заряда Q на π/2, т. е., когда ток достигает максимального значения, заряд (а также и напряжение обращается в нуль, и наоборот.

Заряд на конденсаторе изменяется по закону:

q = q 0 cos ω0 t.

Учитывая, что U = q / C, можно так же получить уравнение для изменения напряжения на конденсаторе:

u = U 0 cos ω0 t.

Ток в катушке индуктивности:

i = I 0 cos (ω0 t + π/2),

или

i = I 0 sin ω0 t.

Период свободных колебаний определяется параметрами самой колебательной системы: индуктивностью и емкостью (формула Томсона):

Свободные (затухающие) колебания в последовательном колебательном контуре. Величины, характеризующие быстроту затухания колебаний: коэффициент затухания, логарифмический декремент затухания, добротность, их физический смысл. Условие превращения колебаний в апериодический процесс. Критическое сопротивление.

Затухающие колебания — колебания, энергия которых уменьшается с течением времени. Бесконечно длящийся процесс вида {\displaystyle \scriptstyle u(t)=A\cos(\omega t+q)} в природе невозможен. Свободные колебания любого осциллятора рано или поздно затухают и прекращаются. Поэтому на практике обычно имеют дело с затухающими колебаниями. Они характеризуются тем, что амплитуда колебаний A является убывающей функцией. Обычно затухание происходит под действием сил сопротивления среды, наиболее часто выражаемых линейной зависимостью от скорости колебаний {\displaystyle \scriptstyle u'_{t}} или её квадрата.

Натуральный логарифм отношения амплитуд, следующих друг за другом через период Т, называется логарифмическим декрементом затухания χ:

где β– коэффициент затухания.

коэффициент затухания β есть физическая величина, обратная времени, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз.

логарифмический декремент затухания χ есть физическая величина, обратная числу колебаний, по истечении которых амплитуда А уменьшается в e раз.

При большом коэффициенте затухания происходит не только быстрое уменьшение амплитуды, но и заметно увеличивается период колебаний.

Добро́тность — параметр колебательной системы, определяющий ширину резонанса и характеризующий, во сколько раз запасы энергии в системе больше, чем потери энергии за время изменения фазы на 1 радиан. Обозначается символом {\displaystyle Q}Q от англ. quality factor.

Добротность обратно пропорциональна скорости затухания собственных колебаний в системе. То есть, чем выше добротность колебательной системы, тем меньше потери энергии за каждый период и тем медленнее затухают колебания.

Апериодический переходный процесс - это форма переходного процесса, реакция системы на воздействие в виде монотонного (без периодических колебаний) перехода системы либо к прежнему уровню равновесия (например после импульсного воздействия), либо к новому уровню равновесия (например после ступенчатого воздействия).
Любой переходный процесс представляет собой выход системы из равновесия, достижение определенного максимального отклонения от уровня равновесия, а затем восстановление равновесия, возвращение системы либо к прежнему уровню (например после импульсного воздействия), либо к новому уровню (например после ступенчатого воздействия). Эта последовательность этапов может осуществляться либо в форме затухающих периодических колебаний, либо без колебаний. В первом случае говорят о колебательном переходном процессе, а во втором - об апериодическом переходном процессе.

Сопротивление контура, при котором колебательный процесс переходит в апериодический, называется критическим сопротивлением. Найдем это сопротивление из равенства:

,

отсюда

где R _вол – волновое сопротивление, определяемое параметрами L и C.

5. Вынужденные гармонические колебания в колебательном контуре. Резонанс. Резонансные кривые для заряда конденсатора и силы тока в контуре.

Вынужденные колебания совершаются под воздействием внешней периодической силы. Чтобы вынужденные колебания были гармоническими, достаточно, чтобы колебательная система была линейной (описывалась линейными уравнениями движения), а внешняя сила (воздействие) менялась со временем как гармоническое колебание (то есть, чтобы зависимость от времени этой силы тоже, в свою очередь, была синусоидальной).

 

Резона́нс (фр. resonance, от лат. resono «откликаюсь») — частотно-избирательный отклик колебательной системы на периодическое внешнее воздействие, который проявляется в резком увеличении амплитуды стационарных колебаний при совпадении частоты внешнего воздействия с определёнными значениями, характерными для данной системы^[1]. Для линейных колебательных систем значения частот резонанса совпадает с частотами собственных колебаний, а их число соответствует числу степеней свободы^[1].

В результате резонанса колебательная система оказывается особенно отзывчивой на действие внешней силы. Степень отзывчивости в теории колебаний описывается величиной, называемой добротностью. При помощи резонанса можно выделить и/или усилить даже весьма слабые периодические колебания.

Волны, виды волн. Основные понятия (характеристики волны). Механические волны. Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси Х. Уравнение плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении. Уравнение сферической волны. Энергия механических волн, поток энергии, плотность потока энергии. Вектор Умова.

Волна – это процесс распространения колебаний в пространстве. В зависимости от физической природы процесса волны делятся на механические (упругие, звуковые, ударные, волны на поверхности жидкости и т. д.) и электромагнитные.

В зависимости от направления колебаний волны бывают продольные и поперечные. В продольной волне колебания происходят вдоль направления распространения волны, а в поперечной – перпендикулярно этому направлению.

Механические волны распространяются в некоторой среде (твердой, жидкой или газообразной). Электромагнитные волны могут распространяться и в пустоте.

Несмотря на разную природу волн, их математическое описание практически одинаково, подобно тому, как механические и электромагнитные колебания описываются уравнениями одинакового вида.

Приведем основные понятия и характеристики волн.

x – обобщенная координата – любая величина, совершающая колебания при распространении волны (например, смещение точки от положения равновесия).

l – длина волны – наименьшее расстояние между точками, колеблющимися с разностью фаз 2p (расстояние, на которое волна распространяется за один период колебаний):

l = uT, (29)

где u – фазовая скорость волны, T – период колебаний.

Волновая поверхность – геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе.

Фронт волны – геометрическое место точек, до которых дошли колебания к данному моменту времени (передняя волновая поверхность).

В зависимости от формы волновых поверхностей волны бывают плоские, сферические и т. п.