Величины, характеризующие быстроту затухания колебаний

b – коэффициент затухания, величина обратная времени, за которое амплитуда колебаний уменьшится в e раз;

l - логарифмический декремент затухания. По определению – это натуральный логарифм двух последовательных амплитуд колебаний.

. (11)

По физическому смыслу l – это величина, обратная числу колебаний, за время которых амплитуда колебаний уменьшится в e раз. Связь его с коэффициентом затухания выражается формулой

l = bT; (12)

 

Q – добротность колебательной системы. По определению Q – это отношение числа p к логарифмическому декременту затухания колебаний:

 

Q = p/l. (13)

 

Если в уравнении (7) b³w₀, то колебания в системе невозможны. При выведении ее из положения равновесия происходит апериодический процесс возврата системы в исходное состояние.

Добро́тность — параметр колебательной системы, определяющий ширину резонанса и характеризующий, во сколько раз запасы энергии в системе больше, чем потери энергии за время изменения фазы на 1 радиан. Обозначается символом {\displaystyle Q}Q от англ. quality factor.

Добротность обратно пропорциональна скорости затухания собственных колебаний в системе. То есть, чем выше добротность колебательной системы, тем меньше потери энергии за каждый период и тем медленнее затухают колебания.

Апериодический переходный процесс - это форма переходного процесса, реакция системы на воздействие в виде монотонного (без периодических колебаний) перехода системы либо к прежнему уровню равновесия (например после импульсного воздействия), либо к новому уровню равновесия (например после ступенчатого воздействия).
Любой переходный процесс представляет собой выход системы из равновесия, достижение определенного максимального отклонения от уровня равновесия, а затем восстановление равновесия, возвращение системы либо к прежнему уровню (например после импульсного воздействия), либо к новому уровню (например после ступенчатого воздействия). Эта последовательность этапов может осуществляться либо в форме затухающих периодических колебаний, либо без колебаний. В первом случае говорят о колебательном переходном процессе, а во втором - об апериодическом переходном процессе.

Вынужденные механические колебания. Резонанс. Резонансные кривые для амплитуды смещения.

Колебания, совершающиеся под воздействием внешней периодической силы, называются вынужденными.

3. Вынужденные колебания

Если вынуждающая сила, действующая на колебательную систему, изменяется по гармоническому закону

F = F_m cos(Wt),

то дифференциальное уравнение вынужденных колебаний можно представить в виде

, (14)

где b – коэффициент затухания, а w₀ – собственная частота колебаний системы. Это неоднородное дифференциальное уравнение (с правой частью, не равной нулю). Из теории дифференциальных уравнений известно, что общее решение уравнения такого вида представляет собой сумму общего решения однородного уравнения затухающих колебаний, рассмотренного ранее, и частного решения данного неоднородного уравнения. При этом первое убывающее слагаемое играет роль только во время установления колебаний. На рис. 3 показан примерный вид зависимости x(t), описываемой уравнением (14).

 

B установившемся режиме вынужденные колебания являются гармоническими, незатухающими, происходят с частотой вынуждающей силы W. Их уравнение

x = x_mcos (Wt + j) (15)

Рис. 3

При этом амплитуда x_m вынужденных колебаний равна , (16)

а сдвиг фаз этих колебаний j по отношению к вынуждающей силе определяется из равенства

.

Резона́нс (фр. resonance, от лат. resono «откликаюсь») — частотно-избирательный отклик колебательной системы на периодическое внешнее воздействие, который проявляется в резком увеличении амплитуды стационарных колебаний при совпадении частоты внешнего воздействия с определёнными значениями, характерными для данной системы^[1]. Для линейных колебательных систем значения частот резонанса совпадает с частотами собственных колебаний, а их число соответствует числу степеней свободы^[1].

В результате резонанса колебательная система оказывается особенно отзывчивой на действие внешней силы. Степень отзывчивости в теории колебаний описывается величиной, называемой добротностью. При помощи резонанса можно выделить и/или усилить даже весьма слабые периодические колебания.

Зависимость амплитуды х стационарных вынужденных колебаний от частоты p вынуждающей силы при постоянной её амплитуде наз. резонансной кривой (рис. 2). В линейном колебат. контуре резонансные кривые, соответствующие различным F, подобны, а фазово-частотная характеристика f(p) не зависит от амплитуды силы.