Построение графика функции, заданной в параметрической форме

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Московский авиационный институт

(национальный исследовательский университет)

РАДИОВУЗ МАИ

О.М.Данченко

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

МОСКВА

 

О.М. ДАНЧЕНКО

Методические указания по выполнению индивидуальных заданий по математическому анализу – М.; РАДИОВТУЗ, 2012г., - 36 с.

 

 

Данное пособие содержит типовые задачи для индивидуальных заданий студентов-заочников по курсу «Математический анализ» часть 1. Ко всем задачам приводятся подробные решения и указания. Приведенные задания в равной степени могут использоваться студентами очного отделения при подготовке к экзамену. В приложении приведена подробная программа курса по «Математическому анализу» часть 1.

 

 

РАДИОВТУЗ 2012

 

Содержание

Введение…………………………………………………………………………….

Построение графиков функций, заданных в полярной системе координат или в параметрической форме……………………………………………………………

Вычисление пределов последовательностей и функций…………………………

Исследование функций на непрерывность………………………………………..

Вычисление производных………………………………………………………….

Исследование функций с помощью производных, построение графиков функций……………………………………………………………………………..

Задания на вычисление интегралов……………………………………………….

Приложения…………………………………………………………………………

Введение

В процессе изучения курса «Математический анализ» предусмотрено выполнение студентами индивидуальных домашних заданий в каждом семестре. Индивидуальное домашнее задание 1-ого семестра содержит следующие задачи:

1. Построение графиков функций, заданных в полярной системе координат или заданных в параметрической форме.

2. Вычисление пределов последовательностей и функций.

3. Исследование функций на непрерывность.

4. Вычисление производных от сложных функций, функций, заданных неявно или в параметрической форме.

5. Исследование функций с помощью производных, построение графика функции.

6. Вычисление неопределенного и определенного интегралов.

Рассмотрим далее типовые примеры на каждое из заданий и укажем методы их решения.

Построение графиков функций, заданных в простой полярной системе координат.

Простая полярная система координат характеризуется следующим:

ρ=ρ(φ); 0≤ρ<+ ∞; 0≤φ≤2π (1)

Положительные углы φ отсчитываются от полярной оси (совпадающей с положительным направлением оси ОХ) против часовой стрелки, отрицательные – по часовой стрелке. При построении графика функции в соответствии с уравнениями (1) следует придерживаться следующего порядка действий:

а) указать область допустимых значений (О.Д.З.), т.е. определить при каких углах φ функция ρ(φ) – неотрицательна, т.е. ρ(φ)≥ 0;

б) найти область изменения функции;

в) указать является ли функция четной или нечетной, т.е. если ρ(-φ) = ρ(φ), то график функции симметричен относительно полярной оси и, следовательно, достаточно сделать исследования для φ≥0. После данных исследований следует построить кривую по точкам.

Пример: построить график функции в простой полярной системе координат ρ=2cos2φ

Так как в простой полярной системе координат ρ≥0, то О.Д.З. будут являться только те углы φ, для которых cos2φ≥0, т.е. 0≤φ≤π/4; 3π/4≤φ≤5π/4; 7π/4≤φ≤2π. Функция будет ограничена, т.к. | cos2φ|≤1, т.е. | 2cos2φ|≤2. Так как функция четная и периодическая то достаточно построить кривую только для 0≤φ≤π/4, а затем отразить кривую симметрично относительно полярной оси и в силу периодичности построить аналогичную петлю для 3π/4 ≤φ≤5π/4. Для 0 ≤ φ≤π/4 функция монотонно убывает от двух до нуля, для 3π/4≤φ≤π функция монотонно возрастает от нуля до двух (рис. 1).

Построение графика функции, заданной в параметрической форме.

Пусть x=X(t) и y=Y(t), где параметр t изменяется в определенных заданных пределах. График функции, заданной в параметрической форме, строится по характерным точкам.

Пример: x=t², y= t∙(t²-3)/3

а) Заметим, что для любых значений аргумента t функция x(t)=t²≥0, следовательно, график функции расположен в правой полуплоскости.

б) В силу нечетности функции y(t), так как y(-t)=-y(t), график функции симметричен относительно оси ОХ.

в) Определим точки, в которых y(t) = 0: при t=0, y(0)=0 и x(0)=0

при t= + и t= - y=0, а x(+ ) = 3 – т.е. это точки пересечения графика функции с осью ОХ. Для более точного построения графика функции достаточно добавить еще 2-3 точки, например при t=1 y(1)=-2/3, x(1)=1; при t=2 y(2)=2/3, x(2)=4; при t =3 y(3)=6, x(3)=9 (рис.2.).

рис. 1 рис. 2