Вычисление производных сложных функций

Пример: вычислить производную от функции

Данную функцию можно представить как функцию от функции следующим образом:

Согласно правилу дифференцирования сложной функции имеем

Заметим, что все производные, возникшие после взятия производной от сложной функции, являются табличными. Подставляя далее вместо функции u=φ(х) её выражение, окончательно получим:

Обычно все указанное выше записывают в следующей укороченной форме:

Производные функций, заданных в параметрической форме.

Пример: пусть x=3t/(1+t²), y=3t²/(1+t²) – найдем производные от данных функций по аргументу t.

Тогда dy/dt = 6t/(1+t²)², а dx/dt = (3-3t²)/(1+t²)²,

В соответствии с формулой (2) для параметрически заданной функции окончательно получим: y´ = 6t/(3-3t²).

Пример: пусть x = ln t, y = t³, 0≤t<+∞

Найдем производные от вышеуказанных функций по аргументу t:

dx/dt = 1/t, dy/dt = 3t², следовательно, y´ = 3t³.