Производные для неявно заданных функций

Говорят, что функция y = f(x) неявно задана уравнением F(x,y) =0, если для всех

X из области определения функции F(x, f(x)) = 0. (3)

Для вычисления производной функции y=f(x) следует продифференцировать тождество (3) по X, рассматривая при этом левую часть как сложную функцию по параметру X. Затем следует полученное уравнение разрешить относительно y´.

Пример: ln(x+y) = x∙y

ln(x+y) – x∙y = 0 – неявно заданная функция

ln(x + y(x)) – x∙y(x) = 0 – дифференцируем сложные функции по аргументу X.

(1+y´)/(x+y) – (1∙y + x∙y´) = 0 - приводим выражение к общему знаменателю и приравниваем числитель полученной дроби нулю.

1 + y´ - (x + y) ∙(y +x∙y´) =0 – выделяем коэффициент при y´

y´∙ (1-x²-x∙y) = x∙y + y² - 1, в результате получим: y´ = (x∙y+y²-1)/(1-x²-x∙y).

Пример: найти производную y´, если 2y∙lny = x

2∙y(x)∙lny(x) – x = 0 - неявно заданная функция. Дифференцируем правую и левую часть тождества по параметру X.

2y´∙lny + 2y∙(1/y)∙y´ - 1 = 0 - выделяем коэффициент при y´

y´∙(2∙lny + 2) = 1, следовательно y´= 1/(2∙lny+2)

Логарифмическое дифференцирование.

Если необходимо продифференцировать функцию, состоящую из большого количества сомножителей, то предварительное логарифмирование функции намного упрощает вычисление производной. Логарифмической производной функции y=f(x) называется производная от натурального логарифма этой функции, т.е. (lny)´ = y´/y. Из этого соотношения легко найти производную y´ = y(x)∙(lny)´.

Пример: y = (x+1)¼ ∙(x-1)‾⅔ ∙x‾³ - логарифмируем функцию

lny= (1/4) ∙ ln(x+1) – (2/3) ∙ ln(x-1) – 3∙lnx - следующий этап дифференцирование

y´/y = 1/(4∙(x+1)) – 2/(3∙(x-1)) – 3/x - и окончательный ответ

y´ = y(x)∙[1/(4∙(x+1)) – 2/(3∙(x-1)) – 3/x]

Пример: y = (x-3)²∙(2x-1)/(x+1)³ - первый этап логарифмирование

lny= 2∙ln(x-3) + ln(2x-1) – 3∙ln(x+1) - далее дифференцируем

y´/y = 2/(x-3) + 2/(2x-1) – 3/(x+1) - и окончательный ответ

y´ = y(x) ∙ [2/(x-3) + 2/(2x-1) -3/(x+1)]

Производные от сложно-показательных функций находятся только с помощью логарифмического дифференцирования.

Пример: y(x) = - первый этап логарифмирование