Исследование функций на непрерывность. Точки разрыва

Функция y=f(x) называется непрерывной в точке xo, если: а) функция y=f(x) определена в точке xo, т.е. точка xo принадлежит области определения функции;

б) существует предел функции y=f(x) при x→xo; в) предел равен значению функции в точке xo, т.е. . При нарушении вышеуказанных условий точка xo называется точкой разрыва функции. Точки разрыва функции делятся на точки разрыва 1-ого рода и точки разрыва 2-ого рода.

Если односторонние пределы функции y=f(x) при x→xo существуют и конечны, но не равны друг другу, то такая точка xo называется точкой разрыва 1-ого рода неустранимой: , A≠B.

Если же правый и левый пределы при подходе к точке xo существуют и равны между собой (т.е. A=B), то такая точка xo называется точкой разрыва 1-ого рода устранимой. При этом функцию y=f(x) можно доопределить «по непрерывности».

Если хотя бы один из односторонних пределов не существует или стремится к бесконечности, то точка xo называется точкой разрыва 2-ого рода.

 

Пример: исследовать функцию на непрерывность

 

 

Точка разрыва функции x=1. Найдём правый и левый пределы при подходе к x=1

 

 

Правый и левый пределы, найденные с помощью 1-ого замечательного предела, равны между собой, т.е. А=В=1. Следовательно, точка x=1 – точка разрыва первого рода устранимая.

Часто при нахождении односторонних пределов приходится делать переход от предела при x→x o справа и слева, как в вышеприведенном примере, к пределу по бесконечно малой положительной величине α (α>0, α→0). При этом заменяют x на x=xo +α или x=xo –α. Так как в вышеприведенном примере точка x=1 – точка устранимого разрыва, то функцию можно доопределить «по непрерывности»: при х≠1 функция f(x)=sin(x-1)/(x-1), а при x=1 функция f(x)=1.

Пример: найти точки разрыва функции

Точкой разрыва является х=-3. Вычисляя правый и левый пределы функции в окрестности х=-3, определим тип точки разрыва

 

 

 

х=-3-точка разрыва второго рода. График функции в окрестностях точки разрыва будет иметь вид:

Рис.3

 

Пример: исследовать функцию на непрерывность f(x) = |3x-5|/(3x-5)

Точкой разрыва является x=5/3. Найдем правый предел при x→5/3

т.к .|3α| = 3α при α>0.

Найдем левый предел при x→5/3

т.к. |3α| -величина неотрицательная, а -3α<0 при α>0. Следовательно, учитывая, что правый и левый пределы конечны, но не равны между собой, точка x=5/3 – точка разрыва 1-ого рода неустранимая.