2017-11-01
258
По определению неопределенного интеграла
постоянное слагаемое 
имеет произвольное значение, а потому неопределенный интеграл представляет собой множество первообразных функций, отличающихся друг от друга постоянным слагаемым. Чтобы из совокупности первообразных функций найти одну, отвечающую задаче, нужно иметь дополнительное условие.
Пусть, например, требуется найти уравнение кривой, проходящей через точку 
, зная, что наклон касательной к кривой в каждой ее точке равен 
.
Согласно геометрическому смыслу производной, имеем
,
то есть
,
откуда
.
Взяв интеграл от обеих частей последнего равенства, получим
или
. (1)
Равенство (1) не может служить ответом на вопрос задачи, так как оно содержит неопределенное постоянное . Чтобы получить определенный ответ (то есть единственную первообразную для данного дифференциала), воспользуемся дополнительными данными задачи, а именно координатами точки, лежащей на кривой, уравнение которой имеется.
Положив, что в уравнении (1) 
и 
, будем иметь
|
|
|
,
откуда
.
Итак, искомое уравнение кривой (то есть искомая первообразная функция, удовлетворяющая данному дополнительному условию) будет иметь вид
.
