Тема 1.2. Чертёж точки. Деление пространства на четверти - октанты

Обозначения и символы

Обозначения геометрических фигур в различных системах
	I	II	III
Фигура	Ф	Ф	Ф
Плоскости проекций:
- горизонтальная	Н	Н	П₁
- фронтальная	V	V	П₂
- профильная	W	W	П₃
Точки в пространстве		А, В, С
Проекции точек:
- горизонтальная	а, в, с	А', В', С'	А₁, В₁, С₁
- фронтальная	а', в', с'	А'', В'', С''	А₂, В₂, С₂
- профильная	а'', в'', с''	А''', В''', С'''	А₃, В₃, С₃
Линии	двумя точками
Проекции линий	проекциями точек
Плоскости:	P, Q, S, α, β, γ
Следы плоскостей:
- горизонтальная	P_H, Q_H, S_H	α_H, β_H, γ_H,	α_п1, β_п1, γ_п1
- фронтальная	P_V, Q_V, S_V	α_V, β_V, γ_V	α_п2, β_п2, γ_п2
- профильная	P_W, Q_W, S_W	α_W, β_W, γ_W	α_п3, β_п3, γ_п3
Символы, обозначающие отношения между геометрическими фигурами
- совпадение, результат действия	º
- конгруэнтность	@
- перпендикулярность	^
- объединение	È
- пересечение	Ç
- включает	Ì
- принадлежит	Î
- логическое следствие	Þ

Задача №1. По двум центральным проекциям треугольника АВС определить его пространственное положение.

Задача №2. По имеющимся параллельным проекциям четырехугольника АВСD построить пространственное положение четырехугольника АВСD и построить недостающую проекцию его вершины D.

Задача № 3. Построить тень дорожного знака, если известна тень одного столба.

Задача № 4. Построить проекцию параллелепипеда АВСDА^'В'С'D' на плоскость его основания по направлению диагонали А'С.

Тема 1.2. Чертёж точки. Деление пространства на четверти - октанты.

Знаки координат в пространстве.

Таблица. Знаки координат

Задача № 5

По заданным в таблице координатам построить наглядное изображение и эпюр точки. Для каждой точки построить отдельный чертеж. Ось оу проводим под углом 45 ⁰к горизонтали и откладываем на ней размеры в 2 раза меньше заданного в таблице размера. При построении ортогональных проекций точек размеры откладываем в натуральную величину.

1. А

2. В

3. С

4.Д

№

Задача № 6* и образец ее решения.

Дать наглядные изображения точек А, В, С, D Относительно плоскостей V и H. Точки заданы своими проекциями (рис. а).

Решение: Точки а_х, в_х, с_х, d_х (рис. б) выбираем на оси х произвольно. Так как точка А находится во второй четверти (аппликата точки положительна, ордината отрицательна), то отрезок а_ха, соответствующий значению ординаты откладываем влево от плоскости V. Отрезок а_ха ', соответствующий значению аппликаты, откладываем вверх от плоскости Н.

Для построения точки D, находящейся в первой четверти (аппликата и ордината положительны), отрезок d_xd откладываем влево от плоскости, а отрезок d_xd' – вверх от плоскости Н.

Положения точек А и D, получены на пересечении перпендикуляров, проведенных через точки а и d к плоскости Н и через точки а' и d' к плоскости V.

Точка В лежит в плоскости V, это следует из того, что проекция b лежит на оси х (ордината равна 0) следовательно на рис б, точка b совпадает с b_х. Отрезок b_хb' соответствующий отрицательному значению аппликаты откладываем вниз от плоскости Н_. Положение самой точки В совпадает с положением ее фронтальной проекции b'.

Точка С располагается на плоскости Н, это следует из того, что проекция с' лежит (рис. а) на оси х (аппликата точки С равна 0) Поэтому и на рис. б с_хс'.

Так как для точки С ордината положительна, то соответствующей этой ординате отрезок с_хс откладывается вправо от плоскости V, положение самой точки совпадает с положением ее горизонтальной проекции с.

Задача № 7. Изобразить наглядно положения точек А,B,C,D и E, заданных своими проекциями на рисунке.

Задача № 8*. Построить проекции точек А и В по их координатам. Построить проекцию точки С, расположенной симметрично точке А относительно фронтальной плоскостей проекций. Изобразить наглядно положения этих точек относительно плоскостей V и Н.

координаты точка	x	y
A	13,5
B	6,5	-20

Решение. Намечаем ось х (рис.а) и на ней точку а_х. Так кА точка А положительна, расположена в первой четверти (аппликата и ордината положительны), то проекция а' находится над осью х на расстоянии 13,5.

Для построения точки В сначала задаемся (на оси х) произвольно точкой b_х и откладываем вниз отрезок b_х b равный значению ординаты 6,5 и отрезок b_х b', соответствующий отрицательному значению аппликаты (-20). Точка В находится в первой четверти.

Точка С должна быть расположена симметрично точке А относительно плоскости V. Следовательно ордината точки С равна -13,5, а аппликата равно 20. Точка с_х совпадает с точкой а_х, с' – с а', а горизонтальная проекция с находится над осью х на расстоянии 13,5.

Задача № 9. Построить проекции точек А, В, С по их координатам. Построить проекцию точки D,расположенной симметрично точке С относительно оси х. Изобразить наглядно положения этих точек относительно плоскостей V и Н.

координаты точка	x	y
A	-25
B	-20
С	-30	-20

Задача № 10. Построить недостающие проекции точек А, В, С, D и их наглядное изображение в системе трех плоскостей проекций.

Тема 1.3. Проекции прямой линии. Взаимное положение прямых в пространстве.

Задача № 11. По заданным фронтальной а2 и профильной а3 проекциям прямой построить горизонтальную проекцию а1, прямой а
	Задача № 12. По фронтальному N2 и профильному T3 следам прямой а построить её проекции. Определить через какие октанты она проходит.
Задача № 13. По горизонтальному M1 и профильному T3 следам прямой а построить её проекции. Определить через какие октанты она проходит.
Задача № 14. Через точку А (25, 15, 40) провести горизонталь под углом к фронтальной плоскости проекций a=30^o, через точку В (5, 30, 10) провести фронталь под углом к горизонтальной плоскости проекций b=10^o.

Задача № 15. Построить три проекции отрезка АВ прямой линии п по заданным координатам ее концов А(30,10,10), В(10,25,40). Построить проекции точки С, делящей отрезок в отношении АС:СВ=1:2.

Задача № 16. Построить следы прямой линии заданной отрезком
	Задача № 17. Построить следы прямой линии заданной отрезком
Взаимное расположение точки и прямой
Задача № 18.Определить какая из предложенных на проекциях точек принадлежит прямой m.
	Задача № 19.Построить проекции точки А равноотстоящей от плоскостей П1 и П2 и принадлежащей прямой а заданной на эпюре.
Задача № 20.Построить недостающие проекции точек А и В, если известно, что точка А лежит на прямой п, а В на 10 мм выше точки А.

	Взаимное расположение прямых Задача № 21.Через точку Е провести прямую, пересекающую прямые АВ и СD.

Тема 1.4. Плоскость.

Задача № 22.По координатам трех точек А(45,30,10), B(30,10,45) и С(5,25,5) построить проекции плоскости и её следы.
	Задача № 23. В плоскости треугольника АВС провести горизонталь, фронталь и линию наибольшего ската.
Задача № 24.Построить недостающую проекцию плоскости заданной двумя пересекающимися прямыми a и b, если известно, что она является профильно проецирующей плоскостью.

Тема 1.5. Задание точки и прямой в плоскости.

Прямая и точка в плоскости. Главные линии плоскости. Пересечение прямой и плоскости. Определение видимости на чертеже.

Задача № 25 Построить недостающую проекцию точки D принадлежащей плоскости АВС.
	Задача № 26. Определить расстояние от точки D до плоскости АВС
	Задача № 27. Построить недостающие проекции прямой m, принадлежащей плоскости АВС..
Задача № 28 Определить точку пересечения прямой m с плоскостью АВС и определить видимость прямой по отношению к плоскости.
	Задача № 29. Через точку D провести прямую параллельную плоскости АВС.
	Задача № 30. Через точку D провести прямую перпендикулярную плоскости АВС.
Тема 1.6.Взаимное положение плоскостей.
	Задача № 31. Построить плоскость параллельную плоскости АВС и расположенную выше её на расстоянии 30 мм.
	Задача № 32. Через точку D провести плоскость перпендикулярную плоскости заданной треугольником АВС.
Задача № 33. Построить линию пересечения плоскости АВС и плоскости заданной двумя параллельными прямыми п и т. Определить видимость.

Тема 1.7. Способы преобразования проекционного чертежа.

	Задача № 34. Найти кратчайшее расстояние между двумя параллельными прямыми, методом замены плоскостей проекций
Задача № 35. Найти кратчайшее расстояние от точки А до отрезка СВ, методом замены плоскостей проекций. Истинную величину перпендикуляра 0А определить методом прямоугольного треугольника

Задача № 36. Методом совмещении определить величину треугольника АВС и найти центр описанной окружности
	Задача № 37. По заданным координатам концов отрезка АВ построить комплексный чертеж. Найти натуральную величину отрезка пользуясь способом вращения А(60, 5, 5) В (15,40,40)
Задача № 38. По заданным координатам концов отрезка АВ построить комплексный чертеж. Найти натуральную величину отрезка пользуясь способом перемены плоскостей проекций А(60, 8, 15) В (15, 30, 30)
	Задача № 39. По заданным координатам вершин четырехугольника построить комплексный чертеж. Найти натуральную величину четырехугольника пользуясь способом вращения А (58, 50, 10) В (58, 15, 55) С (25,48, 40) Д (25,48,10)
	Задача № 40. По заданным координатам вершин четырехугольника построить комплексный чертеж. Найти натуральную величину четырехугольника пользуясь способом перемены плоскостей проекций А (58, 50, 5) В (58, 8, 5) С (12,18, 60) Д (12,60,60)
Задача № 41. По заданным координатам вершин А,В,С построить комплексный чертеж треугольника. Найти действительную величину треугольника пользуясь способом совмещения А (50, 10, 10) В (15, 15, 55) С (55,45, 55)
	Задача № 42. По заданным координатам вершин А,В,С построить комплексный чертеж треугольника. Найти действительную величину треугольника пользуясь способом перемены плоскостей проекций А (55, 40, 8) В (30, 10, 40) С (10,30, 20)