Предел функции в бесконечности и в точке

Число A называется пределом функции y = f ( x ) при x, стремящемся к бесконечности, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε>0 найдется такое положительное число S = S (ε), зависящее от ε, что для всех x таких, что | x |> S, верно неравенство | f (x)– A |<ε.

Такой предел функции обозначается f (x)= A или f (x)→ A при x →∞.

С использованием кванторов данное определение переписывается следующим образом:

Смысл определения аналогичен смыслу предела числовой последовательности: при достаточно больших по модулю значениях аргумента значения функции f (x) как угодно мало отличаются от числа A по абсолютному значению. Иными словами, число A есть предел функции y = f (x) при x →∞, если для любого ε>0 найдется такое число S >0, что для всех x таких, что | x |> S, соответствующие ординаты графика функции y = f (x) будут заключены в полосе A –ε< f (x)< A +ε, какой бы узкой эта полоса ни была.

Данное определение справедливо при неограниченном возрастании аргумента функции по абсолютной величине. Можно также сформулировать определения предела функции при стремлении аргумента к бесконечности определенного знака:

1) - стремление аргумента к ;

2) - стремление аргумента к .

Допустим теперь, что функция y = f (x) задана в некоторой окрестности точки x ₀ кроме, может быть, самой точки x ₀.

Число A называется пределом функции y = f ( x ) при x, стремящемся к x ₀ (или в точке x ₀), если для любого сколь угодно малого положительного числа ε>0 найдется такое положительное число δ=δ(ε)>0, зависящее от ε, что для всех x ≠ x ₀ и удовлетворяющих условию | x – x ₀|<δ выполняется неравенство | f (x)– A |<ε.

Такой предел функции обозначается f (x)= A или f (x)→ A при x → x ₀.

С использованием кванторов данное определение записывается следующим образом:

Смысл определения предела функции y = f (x) в точке x ₀ состоит в том, что при всех значениях x, достаточно близких к x ₀, значения функции f (x) как угодно мало отличаются от числа A по абсолютной величине. Число есть предел функции y = f (x) при x → x ₀, если для любого ε>0 найдется такая δ-окрестность точки x ₀, что для всех x ≠ x ₀ из этой окрестности (x ₀–δ< x < x ₀+δ) соответствующие ординаты графика функции f (x) будут заключены в полосе A –ε< f (x)< A +ε, какой бы узкой эта полоса ни была.

Замечание 1 Определение предела функции в точке не требует существования самой функции в самой точке x ₀, поскольку рассматривает значения x ≠ x ₀ в некоторой окрестности точки x ₀. Другими словами, рассматривая f (x), мы предполагаем, что x стремится к x ₀, но не достигает значения x ₀. Поэтому наличие или отсутствие предела при x → x ₀ определяется поведением функции в окрестности точки x ₀, но не связано со значением функции или его отсутствием в самой точке x ₀.

Замечание 2 Если при стремлении x ₀ переменная x принимает значения только меньше или только больше x ₀, и при этом функция стремится к некоторому числу A, то говорят об односторонних пределах функции f (x) соответственно слева f (x)= A и справа f (x)= A. Определения этих пределов в терминах кванторов переписываются следующим образом: