Предел числовой последовательности

Если по некоторому закону каждому натуральному числу n поставлено в соответствие определенное число a_n, то говорят, что задана числовая последовательность { a_n }, n =1,2,… Числа a ₁, a ₂, …, a_n называются членами или элементами последовательности, а число a_n – общим или n -ым членом данной последовательности.

Число A называется пределом числовой последовательности { a_n }, n =1,2,…, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε найдется номер N = N (ε), что для всех членов последовательности с номерами n, большими чем N, будет справедливо неравенство | a_n – A |<ε. Другими словами, для достаточно больших номеров члены последовательности по абсолютной величине отличаются от величины предела последовательности как угодно мало.

Предел числовой последовательности обозначается a_n = A или a_n → A при n →∞. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.

С использованием кванторов определение предела числовой последовательности переписывается следующим образом:

.

Расположим члены последовательности a ₁, a ₂, …, a_n,… на числовой прямой. Неравенство
| a_n – A |<ε равносильно двойному неравенству A –ε< a_n < A +ε, соответствующего попаданию членов последовательности a_n в ε-окрестность точки A.

Тогда число A есть предел числовой последовательности { a_n }, n =1,2,…, если для любого ε>0 найдется номер N, начиная с которого (при n > N) все члены числовой последовательности будут заключены в ε-окрестности точки A, какой бы узкой она не была. Вне ε-окрестности может быть лишь конечное число членов данной последовательности.

Признак существования предела числовой последовательности. Если числовая последовательность { a_n }, n =1,2,… монотонна и ограничена, то она имеет предел.