Понятие функции. Основные свойства функции

Пределы и непрерывность

Множества

Под множеством понимается совокупность однородных объектов. Объекты, которые образуют множество, называются элементами или точками этого множества. Множества обозначают прописными буквами, а их элементы – строчными. Если a является элементом множества A, то используется запись a Î A. Если b не является элементом множества A, то это записывается так: b Ï A. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается так: Ø.

Если множество B состоит из части элементов множества A или совпадает с ним, то множество B называют подмножеством множества и обозначают B Ì A.

Два множества называют равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Объединением двух множеств A и B называется множество C, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств: C = A È B.

Пересечением двух множеств A и B называется множество C, состоящее из всех элементов, принадлежащих каждому из данных множеств: C = A Ç B.

Разностью множеств A и B называется множество E, состоящее из всех элементов множества A, которые не принадлежат множеству B: .

Дополнением множества A Ì B называется множество C, состоящее из всех элементов множества B, не принадлежащих A.

Множества, элементами которых являются действительные числа, называются числовыми:

R – множество действительных чисел; Q – множество рациональных чисел; I – множество иррациональных чисел;

Z – множество целых чисел; N – множество натуральных чисел.

При этом N Ì Z Ì Q Ì R, I Ì R и R = I È Q.

Множество X, элементы которого удовлетворяют неравенству называется отрезком (сегментом) и обозначается [ a; b ]; неравенству a < x < b – интервалом и обозначается () ; неравенствам и - полуинтервалами и обозначаются соответственно и . Также часто приходится иметь дело с бесконечными интервалами и полуинтервалами: , , , и . Все их удобно называть промежутками .

Интервал , т.е. множество точек удовлетворяющих неравенству (где ), называется -окрестностью точки a.

Понятие функции. Основные свойства функции

Если каждому элементу x множества X ставится в соответствие единственный элемент y множества Y, то говорят, что на множестве X задана функция y = f (x). При этом x называют независимой переменной или аргументом, а y – зависимой переменной или функцией, а f обозначает закон соответствия. Множество X называют областью определения функции, а множество Y – областью значений функции.

Существует несколько способов задания функций.

1) Аналитический способ – функция задается формулой вида y = f (x).

2) Табличный способ – функция задается таблицей, содержащей значения аргумента и соответствующие им значения функции y = f (x).

3) Графический способ – изображение графика функции, т.е. множества точек (x; y) координатной плоскости, абсциссы которых представляют значения аргумента , а ординаты – соответствующие им значения функции y = f (x).

4) Словесный способ – функция описывается правилом ее составления. Например, функция Дирихле принимает значение 1, если x – рациональное число и 0, если x – иррациональное число.

Выделяют следующие основные свойства функций.

1 Четность и нечетность Функция y = f (x) называется четной, если для любых значений x из области ее определения выполняется f (– x)= f (x), и нечетной, если f (– x)=– f (x). Если не выполняется ни одно из перечисленных равенств, то y = f (x) называется функцией общего вида. График четной функции симметричен относительно оси Oy, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

2 Монотонность Функция y = f (x) называется возрастающей (убывающей) на промежутке X, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции. Пусть x ₁, x ₂Î X, x ₂> x ₁. Тогда функция возрастает на промежутке X, если f (x ₂)> f (x ₁), и убывает, если f (x ₂)< f (x ₁).

Наряду с возрастающими и убывающими функциями рассматривают неубывающие и невозрастающие функции. Функция называется неубывающей (невозрастающей), если при x ₁, x ₂Î X, x ₂> x ₁ выполняется неравенство f (x ₂)≥ f (x ₁) (f (x ₂)≤ f (x ₁)).

Возрастающие и убывающие функции, а также невозрастающие и неубывающие функции называют монотонными.

3 Ограниченность Функция y = f (x) называется ограниченной на промежутке X, если существует такое положительное число M >0, что | f (x)|≤ M для любого x Î X. В противном случае функция называется неограниченной на X.

4 Периодичность Функция y = f (x) называется периодической с периодом T ≠0, если для любых x из области определения функции f (x + T)= f (x). В дальнейшем под периодом будем понимать наименьший положительный период функции.

Функция называется явной, если она задана формулой вида y = f (x). Если функция задана уравнением F (x, y)=0, не разрешенным относительно зависимой переменной y, то ее называют неявной.

Пусть y = f (x) есть функция от независимой переменной , определенная на множестве X с областью значений Y. Поставим в соответствие каждому y Î Y единственное значение x Î X, при котором f (x)= y. Тогда полученная функция x = φ (y), определенная на множестве Y с областью значений X, называется обратной и обозначается y = f ^–1(x). Графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первой и третьей координатных четвертей .

Пусть функция y = f (u) есть функция переменной u, определенной на множестве U с областью значений Y, а переменная u в свою очередь является функцией u = φ (x), определенной на множестве X с областью значений U. Тогда заданная на множестве X функция y = f (φ (x)) называется сложной функцией (композицией функций, суперпозицией функций, функцией от функции).

Элементарные функции

К основным элементарным функциям относят:

• степенную функцию y = xⁿ; y = x^–n и y = x ^{1/ n};
• показательную функцию y = a^x;
• логарифмическую функцию y =log _ax;
• тригонометрические функции y =sin x, y =cos x, y =tg x и y =ctg x;
• обратные тригонометрические функции y = arcsin x, y =arccos x, y =arctg x и y =arcctg x.

Из основных элементарных функций новые функции могут быть получены при помощи алгебраических действий и суперпозицией функций.

Функции, построенные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций суперпозиции, называются элементарными.

Алгебраической называется функция, в которой над аргументом проводится конечное число алгебраических действий. К числу алгебраических функций относятся:

· целая рациональная функция (многочлен или полином)

· дробно-рациональная функция (отношение двух многочленов)

· иррациональная функция (если в составе операций над аргументом имеется извлечение корня).

Всякая неалгебраическая функция называется трансцендентной. К числу трансцендентных функций относятся показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические функции.