91-100. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить ее график.
91. . 96. .
92. . 97. .
93. . 98. .
94. . 99. .
95. . 100. .
Пример. .
1. Область определения: .
2. , , -следовательно, функция не является четной, нечетной, периодической.
3. Исследуем характер точки разрыва и поведение функции вблизи этой точки:
,
.
Таким образом, в точке функция терпит разрыв второго рода, а прямая является вертикальной асимптотой.
4. Определим уравнение наклонной асимптоты:
, где
,
.
Итак,
-наклонная асимптота.
5. Определим критические точки.
,
при или , то есть при или , - других критических точек в области определения функции нет. Значения функции в критических точках:
, .
6. Найдем вторую производную:
.
, следовательно, точек перегиба нет.
7. Внесем все полученные данные в таблицу, определим поведение функции на различных участках и построим график.
x | |||||||
+ | - | - | + | ||||
- | - | - | + | + | + | ||
y | max | min |
Положительные значения первой производной соответствуют промежуткам возрастания, отрицательные – промежуткам убывания. Положительные значения второй производной соответствуют промежуткам вогнутости функции, отрицательные – промежуткам выпуклости. Точка, в которой возрастание функции сменяется убыванием, является точкой максимума, а точка, в которой убывание функции сменяется возрастанием – точкой минимума.
|
|