Дифференциальные уравнения

4 5 6 7 8 9 10

131 – 140. Найти общее решение дифференциального уравнения.

131. а). ; б). ; в). .

132. а). ; б). ; в). .

133. а). ; б). ; в). .

134. а). ; б). ; в). .

135. а). ;б). ; в). .

136. а). ; б). ; в). .

137. а). ; б). ; в). .

138. а). ; б). ; в). .

139. а). ; б). ; в). .

140. а). ; б). ; в). .

Пример.

а) .

Данное уравнение является уравнением с разделенными переменными. Проинтегрируем обе его части:

, получим: .

б). .

Для решения данного уравнения используем тот факт, что . Так как переменные в данном случае разделить нельзя, то выразим

, отсюда по правилу пропорции получаем:

, или .

В данном случае ; .

Следовательно, данное уравнение – однородное. Делаем замену переменной

, , . После замены получим:

, , .

Получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные, получим: , .

Интегрируя, находим общее решение

, ,

Возвращаясь к старой переменной, получаем общий интеграл

в). .

Данное уравнение линейное. Ищем решение в виде , .

, .

Решаем уравнение. , , , , .

Подставляя полученное значение в уравнение, имеем:

, , .

Общее решение или .

, , , .

141–150. Найти общее решение дифференциального уравнения:

141. а). ; б). ; в). .

142. а). ; б). ; в). .

143. а). ; б). ; в). .

144. а). ; б). ; в). .

145. а). ; б). ; в). .

146. а). ; б). ; в). .

147. а). ; б). ; в). .

148. а). ; б). ; в). .

149. а). ; б). ; в). .

150. а). ; б). ; в). .

Пример. а). .

Составим соответствующее характеристическое уравнение:

, .

Так как корни характеристического уравнения действительные, различные, следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид , то есть имеем

б). .

Составим соответствующее характеристическое уравнение:

Так как корни характеристического уравнения действительные, одинаковые, следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид , то есть имеем

в). .

Составим соответствующее характеристическое уравнение:

. Решим его при помощи вычисления дискриминанта:

. Так как в данном случае , то для вычисления квадратного корня используем равенство . Так как (комплексная единица), то в данном случае . Таким образом, имеем в данном случае комплексные корни:

Так как корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные, следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид , где и - соответственно действительная и мнимая части комплексных корней. В данном случае . Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид: