2017-10-25
433
131 – 140. Найти общее решение дифференциального уравнения.
131. а). 
; б). 
; в). 
.
132. а). 
; б). 
; в). 
.
133. а). 
; б). 
; в). 
.
134. а). 
; б). 
; в). 
.
135. а). 
;б). 
; в). 
.
136. а). 
; б). 
; в). 
.
137. а). 
; б). 
; в). 
.
138. а). 
; б). 
; в). 
.
139. а). 
; б). 
; в). 
.
140. а). 
; б). 
; в). 
.
Пример.
а) 
.
Данное уравнение является уравнением с разделенными переменными. Проинтегрируем обе его части:
, получим: 
.
б). 
.
Для решения данного уравнения используем тот факт, что 
. Так как переменные в данном случае разделить нельзя, то выразим 
, отсюда по правилу пропорции получаем:
, или 
.
В данном случае 
; 
.
Следовательно, данное уравнение – однородное. Делаем замену переменной
, 
, 
. После замены получим:
, 
, 
.
Получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные, получим: 
, 
.
Интегрируя, находим общее решение
, 
,
.
Возвращаясь к старой переменной, получаем общий интеграл
.
в). 
.
Данное уравнение линейное. Ищем решение в виде 
, 
.
, 
.
Решаем уравнение. 
, 
, 
, 
, 
.
Подставляя полученное значение 
в уравнение, имеем:
, 
, 
.
Общее решение 
или 
.
, 
, 
, 
.
141–150. Найти общее решение дифференциального уравнения:
141. а). 
; б). 
; в). 
.
142. а). 
; б). 
; в). 
.
143. а). 
; б). 
; в). 
.
144. а). 
; б). 
; в). 
.
145. а). 
; б). 
; в). 
.
146. а). 
; б). 
; в). 
.
147. а). 
; б). 
; в). 
.
148. а). 
; б). 
; в). 
.
149. а). 
; б). 
; в). 
.
150. а). 
; б). 
; в). 
.
Пример. а). 
.
Составим соответствующее характеристическое уравнение:
,
, 
.
Так как корни характеристического уравнения действительные, различные, следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид 
, то есть имеем
.
б). .
Составим соответствующее характеристическое уравнение:
,
.
Так как корни характеристического уравнения действительные, одинаковые, следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид 
, то есть имеем
.
в). 
.
Составим соответствующее характеристическое уравнение:
. Решим его при помощи вычисления дискриминанта:
. Так как в данном случае 
, то для вычисления квадратного корня 
используем равенство 
. Так как 
(комплексная единица), то в данном случае 
. Таким образом, имеем в данном случае комплексные корни:
.
Так как корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные, следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид 
, где 
и 
- соответственно действительная и мнимая части комплексных корней. В данном случае 
. Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид:
.
