Неопределённый и определённый интегралы

101-110. Найти неопределённые интегралы.

101. а). ; б). ; в). .

102. а). ; б) ; в). .

103. а). ; б) ; в). .

104. а). ; б) ; в). .

105. а). ; б) ; в). .

106. а) ; б) ; в) .

107. а) ; б) ; в) .

108. а) ; б) ; в) .

109. а) ; б) ; в) .

110. а) ; б) ; в) .

Пример. Найти неопределённые интегралы.

а) ; б) ; в) .

а) Данный интеграл не является табличным. Поэтому предварительно сделаем элементарные математические преобразования, в данном случае воспользовавшись формулой сокращенного умножения, а потом таблицей интегралов основных элементарных функций, получим:

б) пусть требуется найти интеграл вида , где подынтегральная функция непрерывна. Сделаем замену , тогда . Получим . В найденном интеграле перейдем к прежней переменной , воспользовавшись равенством .

.

в) . Имеем интеграл вида . Применим формулу интегрирования по частям :

.

111-120. Вычислить определенные интегралы

 

111. а) ; б) в) .

112. а) ; б) ; в) .

113. а) ; б) в) .

114. а) ; б) в) .

115. а) ; б) в) .

116. а) ; б) в) .

117. а) ; б) ; в) .

118. а) ; б) в) .

119. а) ; б) в) .

120. а) ; б) в) .

Пример.

а) . Применяя формулу Ньютона-Лейбница, вычислим этот интеграл:

б) . Вычислим этот интеграл, используя метод замены переменной:

в) . Применяя формулу интегрирования по частям получим:

121.-130. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями. Сделать чертеж.

121. , . 126.

122. , . 127.

123. , . 128.

124. , . 129.

125. , . 130.

Пример.

а) Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой .

Находим точки пересечения данных кривых и строим искомую фигуру

Площадь фигуры, ограниченной снизу кривой , сверху – кривой , вычисляет интеграл , где и - абсциссы точек пересечения этих кривых, причем

 

Следовательно, имеем