1-10. Даны координаты вершин треугольника . Найти: 1) Длины сторон треугольника; 2) Внутренний угол при вершине A треугольника; 3) Уравнение прямой BC; 4) Уравнение высоты, опущенной из вершины A; 5) Уравнение прямой, проходящей через вершину A, параллельно стороне BC.
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10. .
Пример.
1) Найдем сначала координаты векторов ,
и
. Для этого из координат конца вектора вычитаем координаты его начала:
.
.
.
Модуль вектора (равный расстоянию между точками A и B, A и C, B и C) представляет собой корень из суммы квадратов координат соответствующего вектора:
.
.
.
2) Внутренний угол при вершине A треугольника найдем как угол между сторонами AB и AC треугольника. Этот угол равен углу между векторами и
и находится по формуле:
.
Тогда ;
.
3) Уравнение прямой BC запишем используя уравнение прямой, проходящей через две точки с координатами и
:
.
Подставляя значения координат точек B и C, получим
.
После приведения подобных получим уравнение прямой BC:
.
4) Высота, опущенная из вершины , перпендикулярна стороне
. Следовательно скалярное произведение вектора, лежащего на высоте (будем обозначать его
) и вектора
равно нулю. Вектор
имеет координаты
, где x и y – координаты произвольной точки, лежащей на высоте. Запишем скалярное произведение
:
.
После раскрытия скобок и приведения подобных получим
;
.
Это и есть искомое уравнение высоты.
5) Вектор , параллельный стороне
, имеет координаты
, где x и y – координаты произвольной точки этого вектора. Из условия параллельности векторов
и
следует
. Подставляя в это соотношение координаты соответствующих векторов и приводя подобные получим
;
;
;
.
11-20. Даны координаты вершин пирамиды A1A2A3A4. Найти: 1) длину ребра A1A2; 2) угол между ребрами A1A2 и A1A4; 3) площадь грани A1A2A3; 4) объем пирамиды; 5) уравнение плоскости A1A2A3; 6) уравнения прямой A1A4; 7) Угол между ребром A1A4 и гранью A1A2A3; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины A4 на плоскость A1A2A3.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
Пример.
Если точка - начало вектора, а точка
- его конец, то координаты вектора находятся по формулам
1) Найдем сначала координаты вектора :
.
Модуль вектора (равный расстоянию между точками A1 и A2)представляет собой корень из суммы квадратов координат вектора:
.
2) Угол между ребрами A1A2 и A1A4 равен углу между соответствующими векторами и находится по формуле:
, где
- скалярное произведение векторов, записанное в координатной форме.
Координаты вектора равны:
,
.
Тогда ;
.
3) Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки ,
,
, имеет вид:
.
Подставляя значения координат, вычисляем определитель:
Итак, искомое уравнение плоскости имеет вид
или
.
4) Уравнения прямой, проходящей через точки и
, имеет вид
.
Таким образом, получаем искомые уравнения:
.
5) Если даны плоскость с нормальным вектором
и прямая
с направляющим вектором
, то угол между прямой и плоскостью определяется по формуле
.
Так как , а
, то
,
.
6) Площадь треугольника, построенного на двух векторах, равна половине модуля векторного произведения этих векторов:
, где
- векторное произведение векторов.
и
.
Так как
,
то
(кв. ед.).
7) Объем пирамиды, построенной на трех векторах, равен одной шестой модуля смешанного произведения этих векторов:
.
Следовательно,
(куб. ед.)
8) Так как в качестве направляющего вектора прямой, проходящей через заданную точку D перпендикулярно плоскости ABC, можно выбрать вектор нормали n к плоскости, то канонические уравнения искомой прямой запишется в виде
.
Пример.2. Из точки P(2;3;-5) на координатные плоскости опущены перпендикуляры. Найти уравнение плоскости, проходящей через их основания.
Основаниями перпендикуляров, опущенных из точки P(2;3;-5) на координатные плоскости, служат точки P1(2;3;0), P2(2;0;-5) и P3(0;3;-5). требуется составить уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

Чтобы найти нормальный вектор плоскости, рассмотрим два вектора и
. Они лежат в искомой плоскости, значит,
и
. Следовательно,
,
Уравнение искомой плоскости, проходящей через точку M1(x1, y1, z1) перпендикулярно вектору , имеет вид
:
;
.
в) Составить канонические уравнения прямой
Чтобы найти какую – либо точку, принадлежащую прямой, зафиксируем одну переменную, например z, положив z = 0, и решим полученную систему двух уравнений с двумя неизвестными
Таким образом, одна из точек, принадлежащих прямой, имеет координаты .
Теперь найдем направляющий вектор прямой. Так как и
, то
.
Канонические уравнения прямой запишутся в виде:
.