double arrow

Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры


1-10. Даны координаты вершин треугольника . Найти: 1) Длины сторон треугольника; 2) Внутренний угол при вершине A треугольника; 3) Уравнение прямой BC; 4) Уравнение высоты, опущенной из вершины A; 5) Уравнение прямой, проходящей через вершину A, параллельно стороне BC.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

Пример.

1) Найдем сначала координаты векторов , и . Для этого из координат конца вектора вычитаем координаты его начала:

.

.

.

Модуль вектора (равный расстоянию между точками A и B, A и C, B и C) представляет собой корень из суммы квадратов координат соответствующего вектора:

.

.

.

2) Внутренний угол при вершине A треугольника найдем как угол между сторонами AB и AC треугольника. Этот угол равен углу между векторами и и находится по формуле:

.

Тогда ; .

3) Уравнение прямой BC запишем используя уравнение прямой, проходящей через две точки с координатами и :

.

Подставляя значения координат точек B и C, получим

.

После приведения подобных получим уравнение прямой BC:

.

4) Высота, опущенная из вершины , перпендикулярна стороне . Следовательно скалярное произведение вектора, лежащего на высоте (будем обозначать его ) и вектора равно нулю. Вектор имеет координаты , где x и y – координаты произвольной точки, лежащей на высоте. Запишем скалярное произведение :




.

После раскрытия скобок и приведения подобных получим

;

.

Это и есть искомое уравнение высоты.

5) Вектор , параллельный стороне , имеет координаты , где x и y – координаты произвольной точки этого вектора. Из условия параллельности векторов и следует . Подставляя в это соотношение координаты соответствующих векторов и приводя подобные получим

; ;

; .

11-20. Даны координаты вершин пирамиды A1A2A3A4. Найти: 1) длину ребра A1A2; 2) угол между ребрами A1A2 и A1A4; 3) площадь грани A1A2A3; 4) объем пирамиды; 5) уравнение плоскости A1A2A3; 6) уравнения прямой A1A4; 7) Угол между ребром A1A4 и гранью A1A2A3; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины A4 на плоскость A1A2A3.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

Пример.

Если точка - начало вектора, а точка - его конец, то координаты вектора находятся по формулам

1) Найдем сначала координаты вектора :

.

Модуль вектора (равный расстоянию между точками A1 и A2)представляет собой корень из суммы квадратов координат вектора:

.

2) Угол между ребрами A1A2 и A1A4 равен углу между соответствующими векторами и находится по формуле:

, где - скалярное произведение векторов, записанное в координатной форме.

Координаты вектора равны:

, .

Тогда ; .

3) Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки , , , имеет вид:

.

Подставляя значения координат, вычисляем определитель:

Итак, искомое уравнение плоскости имеет вид

или .



4) Уравнения прямой, проходящей через точки и , имеет вид

.

Таким образом, получаем искомые уравнения:

.

5) Если даны плоскость с нормальным вектором и прямая с направляющим вектором , то угол между прямой и плоскостью определяется по формуле

.

Так как , а , то

, .

6) Площадь треугольника, построенного на двух векторах, равна половине модуля векторного произведения этих векторов:

, где - векторное произведение векторов. и .

Так как

,

то

(кв. ед.).

7) Объем пирамиды, построенной на трех векторах, равен одной шестой модуля смешанного произведения этих векторов:

.

Следовательно,

(куб. ед.)

8) Так как в качестве направляющего вектора прямой, проходящей через заданную точку D перпендикулярно плоскости ABC, можно выбрать вектор нормали n к плоскости, то канонические уравнения искомой прямой запишется в виде

.

 

Пример.2. Из точки P(2;3;-5) на координатные плоскости опущены перпендикуляры. Найти уравнение плоскости, проходящей через их основания.

Основаниями перпендикуляров, опущенных из точки P(2;3;-5) на координатные плоскости, служат точки P1(2;3;0), P2(2;0;-5) и P3(0;3;-5). требуется составить уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.



Чтобы найти нормальный вектор плоскости, рассмотрим два вектора и . Они лежат в искомой плоскости, значит, и . Следовательно,

,

Уравнение искомой плоскости, проходящей через точку M1(x1, y1, z1) перпендикулярно вектору , имеет вид :

;

.

в) Составить канонические уравнения прямой

Чтобы найти какую – либо точку, принадлежащую прямой, зафиксируем одну переменную, например z, положив z = 0, и решим полученную систему двух уравнений с двумя неизвестными

Таким образом, одна из точек, принадлежащих прямой, имеет координаты .

Теперь найдем направляющий вектор прямой. Так как и , то

.

Канонические уравнения прямой запишутся в виде:

.

 







Сейчас читают про: