683
1-10. Даны координаты вершин треугольника 
. Найти: 1) Длины сторон треугольника; 2) Внутренний угол при вершине A треугольника; 3) Уравнение прямой BC; 4) Уравнение высоты, опущенной из вершины A; 5) Уравнение прямой, проходящей через вершину A, параллельно стороне BC.
1. 
.
2. 
.
3. 
.
4. 
.
5. 
.
6. 
.
7. 
.
8. 
.
9. 
.
10. 
.
Пример. 
1) Найдем сначала координаты векторов 
, 
и 
. Для этого из координат конца вектора вычитаем координаты его начала:
.
.
.
Модуль вектора (равный расстоянию между точками A и B, A и C, B и C) представляет собой корень из суммы квадратов координат соответствующего вектора:
.
.
.
2) Внутренний угол при вершине A треугольника найдем как угол между сторонами AB и AC треугольника. Этот угол равен углу между векторами 
и 
и находится по формуле:
.
Тогда 
; 
.
3) Уравнение прямой BC запишем используя уравнение прямой, проходящей через две точки с координатами 
и 
:
.
Подставляя значения координат точек B и C, получим
.
После приведения подобных получим уравнение прямой BC:
.
4) Высота, опущенная из вершины 
, перпендикулярна стороне 
. Следовательно скалярное произведение вектора, лежащего на высоте (будем обозначать его 
) и вектора равно нулю. Вектор имеет координаты 
, где x и y – координаты произвольной точки, лежащей на высоте. Запишем скалярное произведение 
:
.
После раскрытия скобок и приведения подобных получим
;
.
Это и есть искомое уравнение высоты.
5) Вектор 
, параллельный стороне , имеет координаты 
, где x и y – координаты произвольной точки этого вектора. Из условия параллельности векторов и следует 
. Подставляя в это соотношение координаты соответствующих векторов и приводя подобные получим
; 
;
; 
.
11-20. Даны координаты вершин пирамиды A1A2A3A4. Найти: 1) длину ребра A1A2; 2) угол между ребрами A1A2 и A1A4; 3) площадь грани A1A2A3; 4) объем пирамиды; 5) уравнение плоскости A1A2A3; 6) уравнения прямой A1A4; 7) Угол между ребром A1A4 и гранью A1A2A3; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины A4 на плоскость A1A2A3.
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
Пример. 
Если точка 
- начало вектора, а точка 
- его конец, то координаты вектора находятся по формулам
1) Найдем сначала координаты вектора 
:
.
Модуль вектора (равный расстоянию между точками A1 и A2)представляет собой корень из суммы квадратов координат вектора:
.
2) Угол между ребрами A1A2 и A1A4 равен углу между соответствующими векторами и находится по формуле:
, где 
- скалярное произведение векторов, записанное в координатной форме.
Координаты вектора 
равны:
, 
.
Тогда 
; 
.
3) Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки 
, 
, 
, имеет вид:
.
Подставляя значения координат, вычисляем определитель:
Итак, искомое уравнение плоскости имеет вид
или 
.
4) Уравнения прямой, проходящей через точки и 
, имеет вид
.
Таким образом, получаем искомые уравнения:
.
5) Если даны плоскость 
с нормальным вектором 
и прямая 
с направляющим вектором 
, то угол между прямой и плоскостью определяется по формуле
.
Так как 
, а 
, то
, 
.
6) Площадь треугольника, построенного на двух векторах, равна половине модуля векторного произведения этих векторов:
, где 
- векторное произведение векторов. 
и 
.
Так как
,
то
(кв. ед.).
7) Объем пирамиды, построенной на трех векторах, равен одной шестой модуля смешанного произведения этих векторов:
.
Следовательно,
(куб. ед.)
8) Так как в качестве направляющего вектора прямой, проходящей через заданную точку D перпендикулярно плоскости ABC, можно выбрать вектор нормали n к плоскости, то канонические уравнения искомой прямой запишется в виде
.
Пример.2. Из точки P(2;3;-5) на координатные плоскости опущены перпендикуляры. Найти уравнение плоскости, проходящей через их основания.
Основаниями перпендикуляров, опущенных из точки P(2;3;-5) на координатные плоскости, служат точки P1(2;3;0), P2(2;0;-5) и P3(0;3;-5). требуется составить уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.
Чтобы найти нормальный вектор плоскости, рассмотрим два вектора 
и 
. Они лежат в искомой плоскости, значит, 
и 
. Следовательно,
,
Уравнение искомой плоскости, проходящей через точку M1(x1, y1, z1) перпендикулярно вектору 
, имеет вид 
:
;
.
в) Составить канонические уравнения прямой
Чтобы найти какую – либо точку, принадлежащую прямой, зафиксируем одну переменную, например z, положив z = 0, и решим полученную систему двух уравнений с двумя неизвестными
Таким образом, одна из точек, принадлежащих прямой, имеет координаты 
.
Теперь найдем направляющий вектор прямой. Так как 
и 
, то
.
Канонические уравнения прямой запишутся в виде:
.
