double arrow

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 7. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ


ОПРЕДЕЛЕНИЯ АБСЦИССЫ ПАДЕНИЯ ШАРООБРАЗНЫХ

ЧАСТИЦ С НАКЛОННОЙ ПОЛКИ

 

Целью работы является определение математического ожидания абсциссы падения частиц шарообразной формы с наклонной полки в неподвижной среде и расчет основных характеристик кривой распределения.

 

Основы теории

Для характеристики частоты появления различных значений случайной величины x (в нашем случае погрешности определения абсциссы падения частиц) в теории вероятности применяют различные законы распределения случайной величины, причем во всех случаях кривая плотности распределения вероятностей определяется соотношением

 

. 3.1)

 

Наиболее часто используемым в теории вероятностей законом распределения является нормальный закон (распределение Гаусса), плотность вероятности которого описывается выражением

 

(3.2)

 

Координата центра распределения может характеризоваться несколькими величинами:

· медиана – такая точка на оси абсцисс, слева и справа, от которой вероятности появления различных значений случайной величины равны друг другу и составляют 50 %;

· мода– только для симметричных распределений точка на оси абсцисс, имеющая максимальную плотность распределения.




· математическое ожидание– центр тяжести распределения, то есть такая точка на оси абсцисс, относительно которой опрокидывающий момент равен нулю, или

. (3.3)

В нашем случае для дискретного распределения

, (3.4)

где n – количество частиц;

p(x) – количество частиц, попавших в i - ю ячейку;

xi – расстояние до середины i - й ячейки.

Если из всех наблюдавшихся значений погрешности вычесть систематическую составляющую, то есть перенести начало координат в центр распределения, то такое распределение называется центрированным.

Для описания различных свойств распределений используют такие параметры как моменты, причем первый центральный момент называется математическим ожиданием.

Центральный момент k-го порядка для случайной дискретной величины выражается как . (3.5)

 

Второй центральный момент называется дисперсией случайной величины

 

. (3.6)

 

Для более наглядной характеристики самого рассеяния пользуются корнем квадратным из дисперсии – средне квадратичным отклонением (СКО)

 

. (3.7)

 

Третий центральный момент характеризует асимметрию, то есть скошенность распределения: когда один спад – крутой, а другой – пологий. Для относительной характеристики асимметрии используют безразмерный коэффициент асимметрии

. (3.8)

 

Четвертый центральный момент характеризует протяженность распределения, его относительное значение называют эксцессом.

 

(3.9)

 

Не нужно путать его с коэффициентом эксцесса, равным



 

. (3.10)

 

Для классификации распределений по их форме удобнее использовать другую функцию – контрэксцесс

 

. (3.11)

 

Одним из условий правомерности статистической обработки выборки является требование ее однородности. Отсчеты, резко отклоняющиеся по своим значениям от большинства других отсчетов, принято называть промахами и исключать из выборки. Наиболее предпочтительной является методика исключения промахов, предложенная Г.А. Агекяном [1], который рекомендует оценки и s определять без использования отсчетов, предполагаемых промахами, а границу цензуирования назначать в зависимости от объема выборки n:

при 6 < n £ 100 |Xгр| = 4s; (3.12)

при 100 < n £ 1000 |Xгр| = 4,5s; (3.13)

при 1000 < n £ 10000 |Xгр| = 5s. (3.14)

Если промахи попадают в этот интервал, их включают в расчет оценки и s и все заново пересчитывают.

Для определения формы распределения, медианы и других характеристик выборка должна быть представлена в виде гистограммы, состоящей из m столбцов с определенной протяженностью d соответствующих им интервалов. При большом m гистограмма будет отличаться от плавной кривой распределения вследствие изрезанности многими всплесками и провалами. При слишком малом m гистограмма будет отличаться от действительной кривой распределения вследствие слишком крупной ступенчатости, из-за чего характерные особенности будут просто потеряны.

При объеме выборки, равном n, и величине контр эксцесса c наиболее предпочтительной для определения количества интервалов, является формула И.У. Алексеевой [2]



. (3.15)

 

Значение m принято выбирать нечетным, для того чтобы не искажалась середина кривой распределения.

 







Сейчас читают про: