Теорема об изменении кинетической энергии механической системы

Дифференциальная форма. Дифференциал от кинетической энергии материальной точки равен элементарной работе силы, действующей на точку,

Теорема об изменении кинетической энергии:

Интегральная (конечная) форма. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки: изменение кинетической энергии материальной точки на некотором ее перемещении равно алгебраической сумме работ всех действующих на эту точку сил на том же перемещении.

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы формулируется: изменение кинетической энергии механической системы при ее перемещении из одного положения в другое равно сумме работ всех внешних и внутренних cuл, приложенных к системе, на этом перемещении:

В случае неизменяемой системы сумма работ внутренних сил на любом перемещении равна нулю (), тогда

Закон сохранения механической энергии. При движении механической системы под действием сил, имеющих потенциал, изменения кинетической энергии системы определяются зависимостями:

, откуда ,

т.е.

Сумму кинетической и потенциальной энергий системы называют полной механической энергией системы.

Таким образом, при движении механической системы в стационарном потенциальном поле полная механическая энергия системы при движении остается неизменной.

Задача. Механическая система под действием сил тяжести приходит в движение из состояния покоя. Учитывая трение скольжения тела 3, пренебрегая другими силами сопротивления и массами нитей, предполагаемых нерастяжимыми, определить скорость и ускорение тела 1 в тот момент, когда пройденный им путь станет равным s (рис. 3.70).

В задаче принять:

Решение. На механическую систему действуют активные силы , , . Применяя принцип освобождения от связей системы, покажем реакции шарнирно-неподвижной опоры 2 и шероховатой наклонной поверхности. Направления скоростей тел системы изобразим с учетом того, что тело 1 спускается.

Задачу решим, применяя теорему об изменении кинетической энергии механической системы:

где Т и – кинетическая энергия системы в начальном и конечном положениях; - алгебраическая сумма работ внешних сил, приложенных к системе, на перемещении системы из начального положения в конечное; - сумма работ внутренних сил системы на том же перемещении.

Для рассматриваемой системы, состоящей из абсолютно твердых тел, соединенных нерастяжимыми нитями:

Так как в начальном положении система покоилась, то . Следовательно:

а)

б)

Кинетическая энергия системы представляет собой сумму кинетических энергий тел 1, 2, 3:

Кинетическая энергия груза 1, движущегося поступательно, равна:

Кинетическая энергия блока 2, совершающего вращение вокруг оси Оz, перпендикулярной плоскости чертежа:

Кинетическая энергия тела 3 в его поступательном движении:

Таким образом,

Выражение кинетической энергии содержит неизвестные скорости всех тел системы. Начать определение необходимо с . Избавимся от лишних неизвестных, составив уравнения связей.

Уравнения связей это не что иное, как кинематические соотношения между скоростями и перемещениями точек системы. При составлении уравнений связей выразим все неизвестные скорости и перемещения тел системы через скорость и перемещение груза 1.

Скорость любой точки обода малого радиуса равна скорости тела 1, а также произведению угловой скорости тела 2 и радиуса вращения r:

Отсюда выразим угловую скорость тела 2:

. (а)

Вращательная скорость любой точки обода блока большого радиуса , с одной стороны, равна произведению угловой скорости блока и радиуса вращения, а с другой – скорости тела 3: