Согласованный портфель ценных бумаг

Задача составления оптимального портфеля для осторожного инвестора.

Задача составления оптимального портфеля для рискового инвестора.

Как отмечалось ранее, что такой инвестор готов идти на некоторый фиксированный уровень риска V, добиваясь при этом максимальной эффективности. Математически это приводит к следующей задаче нелинейного программирования:

Если в этой задаче опустить условие не отрицательности (x ³0), то задача допускает точное решение. При этом некоторые x могут быть отрицательными. Соответствующие ценные бумаги должны быть взяты в долг. Решение этой задачи и анализ дан в главе 6. С условием не отрицательности задача численно проанализирована в главе 10.

Осторожный инвестор готов ограничиться заранее заданной эффективностью портфеля , но при этом добивается минимального риска:

Так как целевая функция (7) является квадратичной, а ограничения линейны, то получим задачу квадратичного программирования, которая решается симплекс-методом. Впервые задачу составления оптимального портфеля ценных бумаг именно в таком виде поставил Г.Марковиц в 1952г в статье с названием «Выбор портфеля», и которая стала началом нового этапа развития финансовой математики.

Для того, чтобы составить согласованные портфели ценных бумаг необходимо критерии (15) и (16) объединить в один критерий, то есть задачу векторной оптимизации преобразовать в задачу нелинейного программирования. Рассмотрим два различных способа, а именно мультипликативный и аддитивный способы преобразования.

Мультипликативное сворачивание может быть определено по-разному и приводит в простейшем случае к следующей задаче нелинейного программирования:

(23)

Аддитивное сворачивание приводит в общем случае к следующей задаче квадратичного программирования:

(24)

Здесь коэффициенты k₁(k₁0) и k₂(k₂>0) характеризуют отношение инвестора к риску и доходности. Очевидно, что решение этой задачи зависит, на самом деле, от коэффициента относительного предпочтения k=k/k и целевая функция в задаче (10) может быть записана в виде: