Общая постановка задачи оптимального портфеля

БУМАГ.

ОПТИМАЛЬНОГО ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ

Лекция 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

Для уменьшения риска портфеля необходимо покупать, как можно больше разных независимых видов ценных бумаг, то есть проводить диверсификацию.

Инвесторы, как и все люди обладают разной склонностью к риску и делятся на:

1) Равнодушных к риску, считающих что доходность и риск портфеля могут расти соразмерно;

2) Предрасположенных к риску, которые согласны на некоторый заданный уровень риска, но желают максимально возможной при этом доходности портфеля;

3) Осторожных, не расположенных к риску, для которых на первом месте снижение риска и готовых для этого удовольствоваться заранее заданной эффективность портфеля.

В зависимости от склонности инвестора к риску нужно рассматривать различные постановки задач определения оптимального портфеля.

Общая постановка задачи оптимального портфеля - необходимо так распределить капитал на покупку ценных бумаг, чтобы получить максимальную эффективность при минимальном риске.

Математически это приводит к следующей задаче:

Здесь условие (18) запрещает операцию взятия ценных бумаг в долг или, иначе - покупки «без покрытия» (операция «Short Sale»). На многих биржах запрета на продажу в долг нет, в этом случае ограничение (18) отсутствует. Условие (17) означает, что капитал, выделенный на покупку ценных бумаг, расходуется полностью.

Задачи (15)-(18) является задачей векторной оптимизации, решения которой, как правило, не существует, что легко увидеть, рассматривая простейшие примеры. Имеются различные способы регуляризации этой задачи (17). Мы рассмотрим несколько способов сведения к задаче нелинейного программирования:

1) Сворачивание векторного критерия качества путем использования функции полезности f(m, s), получаемой аддитивным или мультипликативным сворачиванием. Другой способ построения функции полезности заключается в использовании теории полезности Неймана - Моргенштерна [4].