Метод ведущих факторов

Метод прямого статистического анализа используется на практике только для оценки эффективности ценных бумаг, а матрица ковариации считается с использованием других методов, например, с использованием метода ведущих факторов.

Метод ведущих факторов основан на методе наименьших квадратов. Рассмотрим простейший вариант метода наименьших квадратов, в случае, когда ведущий фактор один, уравнение регрессии – линейное.

Имеется n – данных неизвестной функциональной зависимости между x и y

Построим линейную функцию:

,

которая наименее откланяется от табличных данных.

Таким образом, задача заключается в том, чтобы найти такие параметры a и b при которых прямая менее всего отклоняется от всех точек одновременно.

Рис.1.Геометрическая интерпретация метода наименьших квадратов.

Математически это приводим к следующей задачи минимизации:

Минимум достигается там, где градиент функции f равен нулю.

Преобразуем первое уравнение:

Окончательно

(74)

Преобразуем второе уравнение

Окончательно

(75)

Получим два уравнения (74), (75) для двух неизвестных (и ).

Расчеты удобно проводить с помощью таблицы, записывая вместо *, рассчитанные величины:

			…	n
			…		*	-	-	-
			…		-	-	*	-
			…		-	*	-	-
	…	…	…		-	-	-	*

Из уравнения (1) и (2) следует, что

(76)

,

где

Запишем формулу (76) в более удобной форме.

Лемма1. Для любых n, x_i, y_i, i=1,…,n справедливо тождество:

(77)

Доказательство:

Обозначим и запишем и сумму в правой части (77) с использованием евклидового скалярного произведения:

,

что и требовалось доказать.

Лемма доказана.

Положим в (77) получим, что справедливо следующее.

Следствие1. Для любых справедливо тождество: