Дискретизация масштаба

Дискретное вейвлет-преобразование

Представление функции f(t) через ее непрерывное вейвлет-преобразование является избыточным. В задачах обработки информации, встречающихся на практике, сигнал, во-первых, имеет ограниченную полосу и, во-вторых, допускаются те или иные погрешности в получаемых результатах. Поэтому используют дискретное представление непрерывных сигналов, при которых параметры преобразования, в данном случае a и b, приобретают дискретные значения. Вейвлет-преобразование, при котором значения а и b дискретны, называют дискретным вейвлет-преобразованием (DWT – Discrete Wavelet Transform). Основной смысл DWT состоит в существенном сокращении времени счета вейвлет коэффициентов С(aj, bk) по сравнению с непрерывным преобразованием, в очистке от помех и в возможности более сильного сжатия для передачи по узкополосном каналу связи.

Рассмотрим сначала случай дискретного масштаба а и положим а=am =??? (a0>1). Это равноценно разбиению частотной оси на поддиапазоны (частотные полосы). Предположим, что ω0 = (a0+1)Δω (это можно сделать всегда, умножив функцию ψ на некоторый модуляционный множитель (см.(2.2.4.б))). Тогда частотное окно будет равно

а центральная частота m-го вейвлета:

Базисом для DWT является функция, полученная из (3.3.1) при :

(3.5.1)

Если справедливо (3.3.3) и если ψ(t) достаточно быстро затухает, то любая функция из L2 может быть представлена в виде дискретной по mZ последовательности

(3.5.2)

Для восстановления f(t) по дискретным значениям (3.5.2) на базис ψm,b(t) налагаются дополнительные ограничения, а именно, образ Фурье вейвлета ψm,b(t) должен удовлетворять соотношению

где константы А и В такие, что 0<A≤B<∞.

Условие (3.5.3) в терминах радиотехники имеет довольно прозрачное толкование. Действительно, так как при каждом значении масштаба вейвлет представляет собой полосовой фильтр, то набор (сумма) этих фильтров (блок фильтров) является некоторым устройством с неравномерной частотной характеристикой, определяемой константами А и В (рис.3.12). Сигнал, например звуковой, на выходе такого устройства при сильной неравномерности частотной характеристики претерпевает существенные искажения. Поэтому для его восстановления принимают специальные меры, в частности, устанавливают фильтр, компенсирующий искажения частотной характеристики. В вейвлет-преобразовании таким фильтром является дуальный (или двойственный) вейвлет .

При ДВП осуществляется как дискретизация параметров a, b, так и самого сигнала. Изменение параметра а происходит по закону

, j=0, 1, 2,..., n.

Изменение параметра b: , k=0, 1, 2,..., k.

Причем bmax = N = .

Согласно закону b на каждом цикле с шагом j шаг движения по оси времени t увеличивается в 2 раза, следовательно, количество шагов по оси времени уменьшается в 2 раза