Свойства корреляционных функций

для ст. сл. пр. с эрг. гипот.

Начальное значение корреляционной функции равно среднему значению квадрата случайного процесса:

Из (1)

(11)

2. Конечное значение корреляционной функции равно квадрату среднего значения случайного процесса:

(12)

Чем больше t, тем меньше связанны случайные величины X(t₁) и X(t₂). При t®величины X(t₁) и X(t₂) можно считать независимыми. Отсюда, учитывая, что для независимых случайных величин

и , можно записать

В чем разница между (11) и (12) на примере

x(t)=t (11)

(12)

3.Значение корреляционной функции при любом t не может превышать ее начального значения, т.е.

(13)

Рассмотрим неравенство

Находим среднее значение по времени от обеих частей последнего неравенства

(см.(1))

Отсюда

4. Корреляционная функция есть четная функция от t, т.е.

(14)

Вытекает из определения

(см. (1))

5. Корреляционная функция суммы Z(t)=X(t)+G(t) определяется выражением

(15)

Из свойства математического ожидания имеем

Для взаимной К.Ф. справедливо

5. Корреляционная функция постоянной величины X(t)=A₀

(16)

7. Если , то

Для гармонической функции

(17)

от j - не зависит. Указывает на наличие скрытой периодичности.

Для периодической функции справедливо

- период X(t)

Тогда

8.Корреляционная функция временной периодической функции, разлагаемой в ряд Фурье

имеет, на основании предыдущей, вид

(18)

9. Корреляционная функция стационарного случайного процесса, на который наложена периодическая составляющая с частотой , так же будет содержать периодическую составляющую той же частоты.

R_X(t)

t

- корреляционная функция случайной составляющей

Для выявления периодической составляющей надо определить корреляционную функцию для больших t, когда случайный сигнал слабо коррелирован. Малый уровень полезного сигнала на фоне больших помех.

10.Типичная корреляционная функция стационарного случайного процесса с неравным нулю средним значением, не содержащего скрытых периодичностей имеет вид.

R_X(t)

Характерные точки графика

По определяют

1) ср. знач.

С.К. значение

Диспер.

С.К.О.

Если среднее значение случайного процесса равно нулю , то его типичная корреляционная функция совпадает с центрированной корреляционной функцией. В этом случае ее можно апроксимировать следующим аналогичным выражением:

, .

X(t) R_X(t)

a)

σ_X = const R_X(0)=D_X

t

б) X(t)

a₂>a₁

t t

Сравнение а) и б). Корреляционная функция случайного процесса с тонкой структурой (менее инерц.) убывает быстрее.

Иначе, чем более высокие частоты присутствуют в случайном процессе, тем быстрее убывает соответствующая корреляционная функция.

Иногда встречается корреляционная функция вида

R_X(t)

t

(20)

- резонансная частота “нерегулярная точка”

Такие корреляционные функции имеют случайные процессы типа турбулентности атмосферы, углового мерцания цели.

11. Чем слабее связь между предыдущим X(t) и последующим X(t+t) значениями случайного процесса, тем быстрее убывает корреляционная функция .

Время , при котором имеет место неравенство , где

- достаточно малая величина, называется временем (интервалом) корреляции случайного процесса.

Обычно =0,05 – 5% трубка

12. Случайный процесс, в котором отсутствует связь между предыдущими и последующими значениями, называется чисто случайным процессом или белым шумом.

Для него (21)

R_X(t)

t

, где

, т.е. ему соответствует бесконечно большая мощность и он не реален. Но в качестве приближения к реальному белый шум используется.

Б.Ш. это стационарный случайный процесс с постоянной на всех частотах спектральной плотностью мощности. Термин Б.Ш. подчеркивает аналогию с белым светом, у которого в пределах видимого диапазона интенсивность всех спектральн. сост. приб. одинак.

Теорема Винера-Хинчина

К.Ф.

Равна 0 всюду, кроме точки 0.

Средн. мощн. его неогран. велика

Некоррелир. мгнов. значений такого сигн. означает бескон. больш. скор. измен. его во времени. Как бы мало не было t, сигнал за это время может измен. на любую наперед задан. величину.

В природе не существует, но им заменяют реальные достаточно широкополосные случайные процессы, в тех случаях, когда полоса пропускания цепи на которую воздействует случайный сигнал, оказывает существенно уже эффективной ширины спектр шума.

При решении практических задач вводят нормированную корреляционную функцию

(22)

.

При t=0 это удобно.

Иногда вводится в рассмотрение нормированная взаимная корреляционная функция

(23)

причем имеет место