double arrow

Спектральные плотности случайных процессов

Спектральная плотность - это частотная функция, определяющая (спектр) частотный состав случайных процессов. Характеризует распределение мощности сигнала по частотам спектра. Спектральная плотность Sx(w) случайного процесса X(t) определяется как преобразование Фурье корреляционной функции ,т.е.

(26)

Используя формулу Эйлера , можно получить

Так как - нечетная функция (интеграл по симметричным пределам интегрирования от нечетной функции = 0), то в последнем выражении второй интеграл равен нулю. Учитывая, что - четная функция t получаем

(27)

Поскольку , то из (27) следует, что

(28)

- действительная и четная функция частоты, график симметричен относительно оси ординат.

S(w)

 
 


w

Если - известно обратное преобразование Фурье

(29)

Круговая частота

Спектральная плотность может быть получена и непосредственно по реализации случайного процесса X(t) без предварительного вычисления корреляционной функции.

Пусть известна реализация случайного процесса X(t). Рассмотрим ее на достаточно большом интервале наблюдения [-T;T].

Введем новую функцию XT(t) из условия

XT(t)=X(t) при условии при (30)

Изображение Фурье для функции XT(t) существует и имеет вид

(31)

Комплексную функцию XT(jw) называют спектральной функцией (текущим спектром) реализации X(t), определенной в интервале

.

Спектральная плотность выражается через спектральную функцию XT(jw)

XТ(-jw) – функция, комплексно сопряженная с XТ(jw)

Физический смысл . Пусть X(t) – напряжение приложенное к омическому сопротивлению в 1 Ом, тогда средняя мощность Рср, рассеиваемая на этом сопротивлении за время 2Т, равна

Ср. мощность на интервале

Ф-ла Парсеваля или ф-ла Рэлея. Если Т,то

Равенство показывает, что Pcp случайного процесса X(t) может быть представлено в виде бесконечной суммы слагаемых при Каждое элементарное слагаемое играет роль мощности, соответствующей бесконечно малому участку спектра, заключенному в пределах от w до w+dw.

Каждая элементарная мощность пропорциональна значению функции спектральной плотности для данной частоты w. Следовательно, физический смысл спектральной плотности состоит в том, что она характеризует распределение мощности сигнала по частотному спектру.

Взаимная спектральная плотность двух стационарных случайных процессов X(t) и G(t) и определяется как комплексная функция

определяется через по обратному преобразованию Фурье.

Взаимная спектральная плотность является мерой статистической взаимосвязи двух стационарных процессов. Если процесс X(t) и G(t) не коррелированны и имеют ср. знач. =0,то =0.

В отличие от спектр. плотности взаимная спектральная плотность является нечетной функцией, не вещественной, а комплексной.

По известным реализациям взаимную спектральную плотность определяют по выражению

;

где XT(jw), GT(jw) определяются аналогично (31).

Отсюда можно получить, что

т.е. является нечетной функцией w и представляет собой не вещественную, а комплексную функцию.

Свойства спектральных плотностей:

1. Спектральная плотность чистого случайного процесса или белого шума постоянна во всем диапазоне частот

SX(w)

RX(τ)

SX(w)=N

τ =0 τ 0

Действительно:

Это означает, что энергия белого шума распределена по всем частотам равномерно, а суммарная энергия равна . Это указывает на физическую не реализуемость белого шума. Белый шум является математической идеализацией реального процесса.

RX(t)

       
   
 
 


-wn +wn

 
 


Понятие белого шума используется в тех случаях, когда частота случайного процесса настолько велика, что при рассмотрении конкретного устройства они не играют роли, т.к. лежит вне полосы частот, пропускаемых каким-либо устройством.

Происхождение термина “белый шум” объясняется аналогией такого процесса с белым светом, имеющим одинаковые интенсивности всех компонент, и тем, что случайные процессы типа белого шума были выделены при исследовании тепловых флуктуационных шумов в радиотехнических устройствах.

Физически реальный процесс- Б.Ш. с ограниченной спектральной плотностью

- полоса частот

S(w) RX(τ)

       
   


Удобнее рассм. плавную кривую

S(w)

 
 


w

S(w)» N

2. Спектральная плотность постоянного сигнала X(t)=A0 определяется как

.

спектральная характеристика дельта-функции

С учетом фильтрующих свойств t=0

.

Найдем от обратного

.

S(w)

w=0

То, что есть d-функция при w=0, означает, что вся мощность постоянного сигнала сосредоточена на нулевой частоте.

3. Спектральная плотность периодического сигнала представляет собой две d-функции, расположенные симметрично относительно начала координат при w=w1, w=-w1, т.е.

.

Найдем по функции обратного преобразования Фурье

 
 
по ф-ле Эйлера


- корреляционная функция сигнала

SX(w)

 
 


t - w1 0 w1

Мощность гармонического сигнала

сосредоточена на 2-х частотах w1 и – w0.

4.Спектральная плотность периодической временной функции, разлагаемой в ряд Фурье

имеет на основе изложенного вид

это линейчатый спектр

SX(w)


-w3 -w2 -w1 0 w1 w2 w3

5.Спектральная плотность случайного процесса, не содержащего периодическую составляющую часто апроксимируется следующим аналитическим выражением

.

где Dx – дисперсия, , - постоянный коэффициент, определяющий ширину полосы частот. Это выражение может быть получено через корреляционную функцию

 
 



t

которые совпадают с (19) традиц. К.Ф.

RX(t) SX(w)

t w

T tR

6.Чем шире график , тем уже .

X изменяется медленно во t
X(t) RX(t) SX(w)

               
     
       
большие частоты
 
 
 


w

t

 
 


w

меньшие частоты
t

 
 
более быстрое изменение X


7. Эффективная или эквивалентная ширина спектра – полоса частот в пределах которой сосредоточена подавляющая часть (»95%) мощности процесса.

[-w0, w0]- Ñ существует полоса частот

(эффективная, эквивалентная)

- ¥ -wn wn ¥

-спектральная плотность случайного процесса, не имеющего постоянной и периодической составляющей

;

8. Нерегулярная качка

Некоторые объекты (корабли, самолеты) находятся под действием нерегулярных возмущений (нерегулярные волнения, атмосферные возмущения) и дв-ся по случайному закону. Сами объекты имеют опред., им свойств. частоту и они обладают свойством подчеркивать близкие к их собственной частоте колебания. Получающееся при этом движение называют нерегулярной качкой … в отличие от регулярной качки(периодические движение)

X

t

Движение носит случайный характер, но близко к периодическому.

К.Ф. нерегулярной качки ,

- резонансная частота, - дисперсия, - параметр затухания

, ,- находят путем обработки экспериментальных данных (натурных испытаний).

RX(t) S(w)

       
   
 
 


t w

-b 0 b

9. Спектральная плотность случайного процесса на который наложены периодические составляющие, содержит непрерывную часть и отдельные

d-ф-ии, соответствующие частотам wk период. состав.,

Отдельные пики на графикеуказывает на то, что процесс имеет “скрыт.” Периодические составляющие, которые сразу могут не обнаружится

       
 
   
Наложен один период. сигнал с частотой wk
 


-wK wK

SX(w) С.П. с постоянной

составляющей.

           
   
     
 


Эфф.ширина спектра


Лекция №12


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: