Нелинейная парная регрессия

5.1. Функции и их характеристики

Наиболее популярные функции регрессии приведены в табл.5.1.

таблица 5.1

Вид функции у	Первая производная	Коэффициент эластичности
1.Линейная y=a+bx+c	b	bx /(a+bx)
2.Парабола второй степени: y=a+bx+cx ² +ε	b+ 2 cx	(b +2 cx) x /(a+bx + cx ²)
3.Гиперболическая y=a+b / x+ε	-b / x ²	-b /(ax+b)
4.Показательная y=a·b^x·ε	(ln b) ab^x	x ·ln b
5.Степенная y=a·x^b·ε	abx^b- ¹	b
6.Полулогарифмическая y=a+b ln x+ε	b / x	b /(a+b ln x)
7.Логистическая y=a /(1+ b^-^cx⁺^ε)	(a·b·c·e^-cx)/(1+ be^-cx)²
8.Обратная y =1/(a+bx+ε)	-b /(a+bx)²	-bx /(a+bx)

5.2 Корреляция при нелинейной регрессии

Уравнение нелинейной регрессии дополняется показателем корреляции – индексом корреляции.

Для любых моделей, в том числе и нелинейных, показатель корреляции вычисляется так:

Если модель нелинейная относительно объясняющей переменной приводится к виду парной или множественной регрессии, то линейный коэффициент корреляции совпадает с индексом корреляции.

Иначе дело обстоит, если линеаризация связана с преобразованием результативной переменной у. В этом случае линейный коэффициент корреляции по преобразованным значениям признака числено не совпадает с индексом корреляции. Тем не менее, в большинстве практических случаев эти значения бывают достаточно близки.

Индекс детерминации R ² можно использовать для расчёта F- статистики Фишера, по значению которой оценивается существенность уравнения в целом.

Пусть для некоторой зависимости построены линейные и нелинейные модели. Тогда индекс детерминации можно сравнить с коэффициентом детерминации линейной модели .Чем больше кривизна линии регрессии, тем более будет меньше, чем и наоборот.Близость этих показателей означает, что нет необходимости усложнять форму уравнения регрессии и можно использовать линейную функцию. Если разность –не превышает 0,1; 0,15, то предположение о линейной форме связи вполне оправдано.В противном случае существенность этого различия оценивают по t – статистике Стьюдента.