double arrow
Линейный граф. Основные определения и понятия

Появившийся сравнительно недавно метод графов основан не на буквенной, а на рисуночной форме записи: взаимосвязь между величинами, другими словами, любую систему уравнений можно представить в виде специального рисунка, называемого графом. Оказывается из такого рисунка гораздо проще получить всевозможные схемные или системные функции, нежели путем решения системы уравнений, выраженной в символьной (буквенной) форме.

Граф представляет собой совокупность точек, называемых вершинами или узлами, и линий, которые соединяют точки. Эти линии называются ребрами или ветвями. Если ветвям приписаны направления, граф будет направленным, в противном случае – ненаправленный. Граф, отражающий систему линейных уравнений, называется линейным.

Рис 3.1

На рис.3.1 приведен типовой граф, содержащий пять узлов и девять ветвей.

Каждый i-й – узел характеризуется величиной, называемой узловым сигналом Xi . Отдельные узлы соединены направленными ветвями, каждая ветвь характеризуется

коэффициентом ţik , называемой передачей ветви. Первый индекс передачи ветви соответствует номеру узла, в котором ветвь начинается, второй номер узла, в котором ветвь заканчивается.

Условимся, что каждая ветвь с передачей ţјк переносит информацию от узла Хj к узлу Хк , причем эта информация равна узловому сигналу Хј , умноженному на передачу ветви tјк.. К узлу Х1 никакая ветвь не подходит, что свидетельствует о том, что сигнал не является функцией других сигналов, т.е. является независимым. Такие узлы в дальнейшем будем называть узлами-источниками. К узлу Х2 подходят ветви с передачами t12 , t42, t32 соответственно от узлов X1, X4, X3 и от него уходит ветвь t24 к узлу X4. Условимся, что в этом и подобных случаях сигнал определяется как сумма информаций, поступающих в узел по всем подходящим к нему ветвям, тогда как выходящие из узла ветви никак на его сигнал не влияют.




X2=t12X1+t42X4+t32X3

Таким образом, сигнал в четвертом узле определяется лишь суммой информаций, поступающих по входящим в него ветвям:

Х4=t14Х1 +t24Х2

К узлу Х3 подходит ветвь t43 от четвертого узла и ветвь t33, начинающаяся в том же третьем узле.

Х3=t33Х3+t43Х4

Для дальнейшего изучения графов очень важно усвоить следующие понятия: путь, передача пути, контур, передача контура.

Путем между двумя различными узлами называется непрерывная последовательность одинаково направленных ветвей, в которой каждый узел встречается не более одного раза. Так, путем от узла Х1 к узлу Х5 в графе на рис.3.1. является любая из последовательностей t14 – t45, t14 – t43 – t35, не является путем последовательность t12 – t42 – t45, так как в ней одна из ветвей (t42) направлена в обратную сторону.. Путем не является так же последовательность t14 – t42 – t24 – t45 , так как в ней узел Х4 встречается дважды.



Передача пути Рјі от узла Хік узлу Хј является произведение передач ветвей, образующих путь. Так, указанные выше пути имеют следующие передачи.

Р15(1) =t14t45, Р15(2)=t14t43t35.

Р15(3)=t12t24t45, Р15(4)=t12t24t43t35

Если произведение сомножителей записывать в том же порядке, в котором следуют ветви, с учетом принятой выше индексации передач ветвей первый индекс каждого последующего сомножителя будет равен второму индексу предыдущего. Будем называть такую последовательность индексов упорядоченной. Первый индекс последовательности соответствует номеру узла, в котором начинается путь, а последний – номер узла, в котором путь заканчивается.

Контуромназывается замкнутый путь, начинающийся и заканчивающийся в одном и том же узле.

Передачей контура называется произведение передач ветвей, образующих этот контур. Так, в графе на рис. 3.1. есть три контура с передачами: L1=t24t42, L2=t24t43t32, L3=t33. Последовательность индексов здесь также будет упорядоченной, если сомножители записывать в том порядке, в каком следуют ветви при обходе контура. Так как контур – это путь, начинающийся и заканчивающийся в одном и том же узле, первый индекс последовательности равен последнему. Такие последовательности будут называться замкнутыми. В противоположность контуру последовательность индексов передачи пути между двумя узлами будет разомкнутой.






Сейчас читают про: