Продольный анализ

Рассмотрим поколение людей, родившихся в момент t ₀, и обозначим количество рожденных p. Поскольку текущее время и возраст для представителей одного поколения связаны взаимно однозначно, будет использоваться один временной аргумент — возраст t. Число людей, доживших до возраста t, обозначим p (t). Долю доживших до этого возраста от начальной численности (числа рожденных) обозначим V (t), так что V (t) = p (t) /p. Будем называть V (t) функцией дожития. Функция V (t) — монотонно убывающая от значения V (0) = 1 до V (t) = 0 при превышении t некоторой верхней границы. В дальнейшем мы не будем фиксировать верхней границы возраста, полагая, что при ее превышении соответствующие функции будут принимать нулевые значения (впрочем, при рассмотрении некоторых моделей мы будем абстрагироваться от ограниченности возраста). Во всяком случае, будем считать, что V (t) ® 0 при t ® ∞.

Интенсивность потока смертей в возрасте t обозначим m (t). Очевидно,

p (t+∆t) = p (t) – m (t)∆t + o (∆t)

так что dp (t) /d t = – m (t) и

.

(Заметим, что последнее выражение сохраняет силу и тогда, когда существует конечная верхняя граница возраста, T. В этом случае m (t) = 0 при t > T.)

Общая смертность в продольном анализе не имеет смысла: умирают все. Повозрастную смертность обозначим m(t) = m (t) /p (t). Возрастная динамика численности живущих подчиняется дифференциальному уравнению

dp (t) /d t = – m(t) · p (t),

или

= – m(t).

Почленно интегрируя, получим

ln p (t) = -+ ln C,

где ln C —постоянная интегрирования. Используя начальное условие ln p (0) = ln p =

= ln C, найдем, что C = p, так что связь числа доживших до возраста t связана с повозрастной смертностью равенством

p (t) = p · exp.

Отсюда следует выражение для функции дожития:

V (t) = exp.

Так как при продольном анализе рассматривается одно поколение, средняя продолжительность жизни для этого поколения совпадает со средним возрастом смерти. Число умирающих в диапазоне возрастов [t, t +∆t] равно m (t)∆t + o (∆t), поэтому

=

Заметим, что p (t) /p = V (t) и m(t) V (t) = – dV (t) /d t. Это позволяет упростить выражение для :

=

или

=

так как t V (t) = 0 при t = 0 и t V (t) → 0 при t → ∞.

Пример 1. Рассмотрим модель нестареющего населения: повозрастная смертность не зависит от возраста, m(t) = m = const. В этом случае

V (t) = .

Определим среднюю продолжительность жизни в этой модели:

= .

Пример 2. Пусть теперь повозрастная смертность возрастает с увеличением возраста и описывается функцией

m(t) = , t < T.

Здесь T — точная верхняя граница возраста. Так как

,

для функции дожития получаем выражение

V (t) =, t < T.

Найдем для этой модели среднюю продолжительность жизни:

=.

Поскольку p (t) = p · dV (t) /d t, справедливо равенство

p · dV (t) /d t – m (t) = – m(t) p (t) =– m(t) pV (t),

или

,

откуда

,

где C — постоянная интегрирования; C = 0, так как V (0) = 1. Таким образом, мы получили уравнение, выражающее функцию дожития через повозрастную смертность:

.

Введем в рассмотрение функцию предстоящего дожития для лиц, достигших возраста t₀:

,

или

V (t|t₀) = V (t) /V (t₀)

Ее можно трактовать как условную вероятность дожить до возраста t при условии, что человек доживает до возраста t₀, t > t₀.

При продольном анализе средняя продолжительность жизни определяется естественным образом — как средний возраст умирающих:

=

Так как m(t) V (t) = – d V (t) d t, последнее выражение существенно упрощается:

= ;

,

откуда следует окончательное выражение:

=.

Заметим, что здесь речь идет об одном поколении; его представители достигают возраста t в момент t = t ₀ + t.